基本 例題 29 不等式の証明 [A-B2≧0の利用]
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00000
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのような
ときか。
+0+ (C)
(1)a0b0 のとき
(2)a0b0 のとき
5√a+3√√254+96
√a+√√2(a+b)
p.51 基本事項 3
1
章
のど
場合
(1)の差の式は 5√a+3√6-√/25a+96 であり,これから≧0は示しにくい。
そこで,証明すべき不等式において,(左辺)≧0, (右辺) ≧ 0 であることに着目し
A≧0, B≧0 のとき A≧BA≧B2
の利用を考える。
⑥ 不等式の
証
すなわち,まず (左辺)'≧(右辺)” を証明するために,平方の差(左辺)(右辺)20 明
を示す。
CHART 大小比較 差を作る 平方の差も利用
(1) (5√a+3√6)² - (√25a+96)²
平方の差。
=(25a+30√√√√b+96)-(25a+96)0518+10=10+01
=30√ √6
=30√ab≧0
A≧0, B≧0 のとき
①
(A≥BA²≥B²
⇔A'-B'≧0
よって (5√a +3√6)(√25a+96)²
この確認を忘れずに。
A
5√a+3b√25a+96
(1)(S)
5√a+3√6≥0, √25a+96≥0 T345
等号が成り立つのは、 ① から a=0 または b=0 のと√ab = 0
きである。
(2) {√2 (a+b)}-(√2+√6)
平方の差。
くいく。
s. [s]
=2(a+b)-(a+2√ab+b)
=a-2√ab +6||||
=√2-√6) 20
......
①(/dp/+dp)=
(実数) 20
よって
{√2(a+b)}^≧(√a+√6)(10-
√2(a+b)≧0,√a+√6≧0であるからこの確認を忘れずに。
√2(a+b)=√a+√
等号が成り立つのは,① から a=bのときである。
√α=√6
+02026 (+20) 10 (450
+50)
練習次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなとき
