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基本 例題 5 二項係数と等式の証明
■ knCk=nn-1Ck-1 (n≧2, k=1, 2, ..., n) が成り立つことを証明ｲ
(ア)
(イ)
(1+x)" の展開式を利用して,次の等式を証明せよ。
Co+ni+nC2++,Cr+......+nCz=2"
Co-Ci+nCz+(-1)'n Cr+....+(-1)", Cn=0
(ウ) nCo-2 Ci+22,C2+(-2)", Cr+......+(-2)",Cn=(-1)"
針
n!
/p.13 基本事項
(1) Cr= r!(n-r)! を利用して, knCk, nn-C] をそれぞれ変形する。
(2) (ア)二項定理 (p.13 基本事項4) において, a=1, b=x とおくと
①
(1+x)"=nCo+nCix+nCzx+............+nCnx
等式① と, 与式の左辺を比べることにより, ①の両辺でx=1とおけばよいこと
に気づく。 同様にして, (イ), (ウ)ではxに何を代入するかを考える。
k!(n-k)! (k-1)!(n-k)!
n!
(n-1)!
(1) knCk=k..
=N°
(n-1)!
したがって knCk=nn-1Ck-1
nniCk-1=n(k-1)!{(n-1)-(k-1)}!
<n!=n(n-1)!
(n-1)!
=n⋅
(k-1)!(n-k)!
すべてのxの値に対して成り立つ
(2)二項定理により、次の等式①が成り立つ。
(1+x)"=nCo+nC1x+nCzx2+....+nCrx+....+nCnxn
(ア)等式①で,x=1とおくと
よって
(1+1)="Co+C・1+C2・12+....+nCr・1’+....+nCz ・1"
nCo+nCi+nCz+......+nCr+•••...+nCz=2"
(イ)等式① で, x=-1とおくと
(1−1)”=nCo+nC₁•(−1)+nC₂ •(−1)²+······ +„Cr·(−1)'+······ +nСn• (−1
よって nCo-nCi+nCz-+(-1)^nCr+....+(-1)",Cr=0
(ウ)等式①で, x=-2とおくと
(1-2)"="Co+nC・(-2)+„C2(-2)^++(-2)'+....+nCz (一
よって
Co-2 Ci+22rC2-......+(-2)"nCy+…+(-2)"nCn=(-1)
pを素数とするとき, (1) から kpCk=pp-1Ck-1 (カ≧2;k=1,2,....... p
この式は C が必ずかで割り切れることを示している。
習 次の等式が成り立つことを証明せよ。
nCin C2
(1)n Co-
2 22
·+(−1)” nСn − 1
2"
2n
(2)が奇数のとき nCo+nC2++nCn-1=„C1+C3+………+nCz=2"-1
(3)が偶数のとき no+2++nCn=nCi+nCs++nCn-1=2"-1
P.
