Question

かい

57.58の独立は何が違うんですか
57とかこんな式使わんくても事象二つがちょっとでも重なってるか全く別か感覚でわかるくないですか?

18 ~ 2/25
基本 例題 57
独立 従属の判定
00000
2個の合計10
取り出すとき 1
の同時分布を求
p.438 基本事項 1
00000
111から9までの整数から1つの整数を選ぶとき,それが奇数である事象
Aと5以下である事象Bは独立であるか, 従属であるか。
(2) 52枚のトランプから1枚を引くとき,それがハートである事象Aとエー
スである事象Bは独立であるか, 従属であるか。
CHART &
HINKING
●ではなく、2つの
事象AとBが独立
事象の独立 従属
p.438 基本事項 2
441
PA(B)=P(B)⇔ PB(A)=P(A) (定義)
⇔P(A∩B)=P(A)P(B)
(乗法定理)
事象の独立・従属を、試行の独立と混同してはダメ。上の関係式のうちいずれかが成り立
つとき、事象が独立といえる。 確かめやすい関係式を利用すればよい。 ここでは, 乗法定理
が成り立つか確認する方法で調べてみよう。別解は定義を確認する方針。
(1) P(A)= =0,P(B)=1, P(A∩B)=g
2章
27
確率変数の和と積。 二項分布
えば
解答
_X = 1, Y=2) は,
回目に1の球、2回目
5
よって
P(A∩B) ≠P(A)P(B)
25
P(A)P(B)= 81
「別解
P₁(B)= =1313,P(B)=1/2 であるから
したがって、2つの事象AとBは従属である。
5
P(A∩B)
PA(B)=
P(A)
3
ことを確かめるた
PA (B) ≠P(B)
9
3
確率は約分しない。
よって、 2つの事象AとBは従属である。
4
5
5
9
(2) P(A)=12=11,P(B)= P(A∩B)=
52'
よって P(A∩B)=P(A)P(B)
1
52
したがって、2つの事象AとBは独立である。
4 1
別解 PA (B)=- 13,P(B)=1 52 13
であるから
PA(B)=P(B)
1
52 1
PA(B)=
13 13
52
1)+P(Y=2)
J-3)-1 となる
を確認 (検算) する
linf.
もとに戻さ
取り出された青
よって、2つの事象AとBは独立である。
(2)のトランプが,ジョーカー1枚を加えて53枚の場合は
13
53'
4
53'
P(A)=- P(B)=1313, P(A∩B)=
から P(A∩B) P(A)P (B)
53
となり、2つの事象AとBは独立ではなく, 従属である。
PRACTICE 57°
1枚の硬貨を3回投げる試行で, 1回目に表が出る事象をE, 少なくとも2回表が出
る事象をF, 3回とも同じ面が出る事象をGとする。 EとF,EとGはそれぞれ独立
か従属かを調べよ。

②中間
問題番号9~129
問題番号
問題番号<
1月7日
442
基本 例題 58
確率変数の和と積の期待値
12/18~
00000
袋Aの中に赤い玉3個, 黒い玉2個, 袋Bの中には白い玉3個,緑の玉2個
Bから玉を2個同時に取り出したときの緑の玉の個数をY とするとき,X,
が入っている。 Aから玉を2個同時に取り出したときの赤い玉の個数をX,
Yは確率変数である。 このとき, 期待値 E (X+3Y) E (XY) を求めよ。
CHART & SOLUTION
確率変数の和 αX + bY の期待値, 積 XY の期待値
IE(aX +6Y)=aE (X) + bE(Y)
II X と Yが互いに独立ならばE(XY)=E(X)E(Y)
p.438 基本事項 2
まずX,Yの確率分布を求め, 期待値E (X), E(Y) を計算し,上の公式を利用する。この
とき,和の期待値の公式Iは常に成り立つが,積の期待値の公式Ⅱは,XとYが互いに独立
であるときに成り立つことに注意。
解答
確率変数 X,Yのとりうる値は,ともに 0,1,2であり、生
X=k, Y=l となる確率は
(8)9
18 P(X=k)=3CkX2C2-k
(k=0, 1, 2)
5C2
P(Y=1)=2CiX3C2-1
よって,X,Yの確率分布は次の表のようになる。
5C2
(1=0, 1, 2)=(8)
基本例
確率変
V(X+
する。
CHAR
確率変
X
V
この公
また,
5X-Y
これを
答
確率分
E
X 0 1 2 計
Y 0 1 2
また,
1 6 3
P
1
P
10 10 10
1
6
ゆえに
E(X)=0. +1・ ・+2・
10
10
3
6
E(Y)=0.
+1・ ・+2・
10
10
| 310 3 10 11
6
10 10 10
110
1 (8)
分母を10でそろえた。
6
5
(変数)×(確率)の和
E
T
Xと
4
10 5
よって
E(X+3Y)=E(X)+3E(Y)=1+3.1-1/8
また, XとYは互いに独立であるから
E(XY)=E(X)E(Y)=- 64 24
55
この断りは重要。
PRA
確率
PRACTICE 58
各面に,-2, -1, 0, 122の数字を記入したさいころと
右の図のように作られた正四面体のさいころを同時に投げると
き 底面の目の数をそれぞれX, Y とすると,X,Yは確率変
数である。 このとき, 期待値 E (2X+Y), E (XY) を求めよ。
V (6