重要 例題 115 2変数の不等式の証明 (1)
0<a<b<2z のとき,不等式bsinasin
が成り立つことを証明せよ。
0<a<
基本 113 114
ると
指針 2変数a,bの不等式の証明問題であるが、この問題では不等式の両辺をab(>0)で割
指針
bsin >asin
b
a
1 sin >sin
1
変形
a
b
b
2
F(a,b)>F(b.α)の形
(a) f(b) D
よって、f(x)=1/21sin/120とすると、示すべき不等式はf(a)>f(b) (0<a<b<2x)
つまり、0<x<2のときf(x) が単調減少となることを示せばよい。
なお、2変数の不等式の扱い方については, p.200の参考事項でまとめているので参
考にしてほしい。
0<a<b<2のとき, 不等式の両辺を αb (0) で割って
b
解答
a
a
1/2sin 1/18 1/2 sin/1/
x
ここで,f(x)=1/21sin 2/28 とすると
1
1
COS
2 2x
2
0=x S
の図のよ
解答
(1)
f(x)=-sin+cos(0)=u'v+uv
1
x
=2(xcos -2sin)
x
-2
COS
2
g(x)=xcos 12/22sin 2012 とすると
2 2
g'(x)=cos-sin-cos=-sin
x
2
2
2
f'(x)の式の は符号
が調べにくいから,
g(x)=_ としてg'(x)
の符号を調べる。
x
0<x<2のとき,<<πであるから
g'(x)<0
よって, g(x) は 0≦x≦2で単調に減少する。
また, g(0) = 0 であるから, 0<x<2πにおいて
g(x) <0 すなわち f'(x) < 0
y
f(a) 1
2
よって, f(x) は0<x<2で単調に減少する。
ゆえに, 0<a<b<2のとき
y=f(x)
T
0
a
b 2π X
f(b)
a
a
2
1 sin 1/4 > 1½ sin 1/1
62
b
a
すなわち
bsin >asin
2
練習 e<a<bのとき,不等式αb が成り立つことを証明せよ。
3 115
All
[類 長崎大]
0.205 EX 101
練習
¥ 116
