ノートテキスト
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20××年度8月第2回全統記述高3模試 自学@Akagi Ⅱ型 【Ⅲ型 選択問題】 (配点 40点) f(x)= COS X (−2≦x≦2) sin x + +√√√2 とする. (1)不定積分 「f(x)dx を求めよ. (2) 曲線 y=f(x)と直線y=-1で囲まれる部分をDとする.Dの面積を 求めよ. (3)(2)の D のうち, x≧0の部分の面積をS, x≦0の部分の面積を S2 とする. S,と S2 の大小を比較せよ. ただし, 2.7<e<3<πであること を用いてよい.
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自学@Akagi COS X f(x) = (−2≦x≦2) ※単位円2周 sin x+√2 (1) sinx=t ŁBŁ (sinx)′=t' 2') cosxdx = dt よってff(x)dx=f COS X sin x+√√2 √ 11 dx = log | x | +C| X -1≦t≦1より 元にもどして =dx = S. - 1 sin x + √2 t + dt Cos xdx → = log|t+ √2|+C = log(t+√√2)+C = log(sin x + √2)+C C:
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(2)どんなグラフかよくわからないので
y = f(x)と直線y=-1の上下関係を確認します。
COS x
f(x)-(-1)=
+1
=
sinx+V2
兀
(∵ −1 ≦ sin(x +
(sin x+cosx)+V2
sinx+V2
兀
x+1)+ √2
√2 sin(x+
12
=√2..
sin x + v
sin(x+ -)+1
π
4
sinx+V2
≧O
三角関数の合成
≦1より分子≧0, 分母>0)
よって, y = f(x)は直線 y=-1上または上側であり,等号成立条件は
π
sin(x+1) +1=0, すなわちsin(x+1)=-1のときで,-2π≦x≦2
4
πT
≦に注意すると
三角方程式を解い
7
より
4
て交点を求める
兀
π
3
3
5
x+
',
一π
..x=--π
- π
5
したがって D=_{f(x)-(-1)}=[log(sinx+√2)
+x
3
π
4
={log(sinor +√2)+r}{log(sin(-2x)+√2)-27}
5
= log(+√2)+ - log(+√2+
=
=10g
=2π
√2.5 √2 3
+-л-log- 十一π
4
3
=π
ページ4:
(3) Dのうち, x≧0 の部分 S を求めてみると
5
S₁ = f** {f(x)=(−1)}dx = [log(sin x + √2) + x}**
= (log-
= log(-
5
4
√2 5
+-7) - (log√√2+0)
+7)-(log
2 4
==π-log 2
Dの半分とS, を比べてみます。
5
+-π
log
= log 2-1
π
S₁-D=π- -log 2)-2л÷ 2 =
-log 2
4
4
1
(π-4log 2)
2.7 <e<3<より
=
4
=
4
-(loge - log16)
1
= (log 2.7³ – log16) ==log-
(log 2.7 -1
よって, S, は Dの半分より大きいから
S₁ > S₂
19.683
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