ページ3:

4
次の問いに答えよ.
(1) t > 0 のとき
sin x
<
dx<
2
(2) lim
S
・2t
COS T
が成り立つことを示せ.
t→∞
x
dx=0を示せ.
3x
(3) f(x)
= sin
sin
とおく.
t→∞
X
lim / f(x) dr = 1½ 1² cos.
COS T
dx
dx
2
T
を示せ.
-7-
(配点率20%)
◇M4(834-51)

ページ4:

1
5
投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ-
のコインがある. A, B, C の
2
3文字をBACのように1個ずつすべて並べて得られる文字列に対して, コイン
を投げて次の操作を行う.
●表が出たら文字列の左から1文字目と2文字目を入れかえる.
●裏が出たら文字列の左から2文字目と3文字目を入れかえる.
例えば,文字列がBAC であるときに、 2回続けてコインを投げて表裏の順に
出たとすると, 文字列は BAC から ABC を経て ACB となる.
最初の文字列は ABC であるとする. コインを n回続けて投げたあとの文字
列が ABC である確率を pn とし, BCA である確率を qn とする.
(1)k を正の整数とするとき,P2kg2k を求めよ.
(2) n を正の整数とするとき,pn を求めよ.
- 6-
(配点率 20%)
◇M4(834-53)

ページ5:

|
LAOB < 90°
0A = 3
0 B = t
(1)
LAO B
0
= とおく
OA OB = |OA |
OB |
cos O
= 3
-t
cos O
=
30
cos O
LAOB
が鋭角より
cos O
=
OC
OA
OA OB
=
=
=
3+ cos
3t
t
3
0
(答)
(2)
Rは
OBE
占
の
より
実数を用いて
OR =
とおく
AR
=
OR
=
-
P 1J
AB を 2:1に
内分する点より
op
=
1.0A + 20 B
2+1
° A
0
A
R
w
3
0 | C
=
A
+
2
3
OB
3
A
A
P
B
R

ページ6:

AR _ OP より
AR OP = 0
「
( r oẞ - o A ) ( — — 0 A +
гo
(1)より
2
— OB 1 = 0
3
+ 2r|OB | - |A|- 20A OP = 0
2
rt + 2 r. t
2
-
3 2.t=0
(t + 2 t²) v
= 2t+9
t > o
2
* + + 2 t = 0 なので
20+9
V
=
2t² + t
2t+9
OR =
OB
It²+t
20+9
|OR|=
20+9
| OB | =
t
2t+t
t (t+1)
20+9
=
(答)
20 +1
(3)
R
がMB上
より
OR
=
r
OB
9
と
≤ n ≤ |
2
(2)51)
2t+9
2
2t
+ t
t² + t > 0 & 1
2 t
+ t ≤ 2 (2 t + 9 ) ≤ 2 ( 2 t ² + t )
2 t² + t ≤ 2 (2t+9)
①
2 ( 2t + 9 ) ≤ 2 ( 2 t² + t ).
②

ページ7:

①より
2 t² + t ≦4t+18
2 t² - 30 - 18≤0
20-30-18
= 0 のとき
t =
(-3) ± √(-3)-4-2-(-18)
2.2
3±19 +144
t> o d')
より
3±1153
3±3/17
4
4
3-3/17
3 + 3/17
sts
osts
4
3+3/17
2t+9≦
2t² + t
か
2t-t-9=0
t
0 ≤ 2t' t-9
2t-t 9 ≥ 0
のとき
-
(-1) ± √(-1)² - 4·2-(-9)
2.2
| ±1 + 72
1±/73
4
4
1-173
t ≤
1+173
st
4
4
to より
+ 173
St
で
3/17
=
13:17
3+3/17 7
3+
4
=
1153173
1 + 3/17 > 1+ √73
LITE
1
173
(3)
>
4
4
173
3+3/17
④より
sts
(谷)
4

ページ8:

2
(1)
f(x)
=
x3+
3px²+3mx
x=ので極大値
x=1で極小値
f(x)は x=
で極大値
x=1で極小値をとるので
f(a)
= 0
f'(x)=
=
3x²
+
f'(x)
2
f'(8)=0
3P.2x+3m-1
=31x + 2px + m)
= 0とすると
3(x²+2px+ m) =0
x²+ 2px
+ m =0
判別弍p
p² - m ≤ o ar z
x + 2px+mw0
f'(x) = 0
f(x)は単調に増加し
極値をもたない
極大値極小値をも
つ
ことと矛盾
P
m > O
-
x = P = /p² =
f(x)の増減表は
x
f'(x)
f(x)
-p-jp-m
m
P+
+
0
-
0
√ p² - m
+
=
-
極大
p-p-m
Q.Bより
の解が
3x²+2px
+
m)
極小
B
= -
p+/p^
-m
3(n-a)(x-β)
f'(x)
= 0
fo
=

ページ9:

flar-f(B) = så f'(x) dx
=
=
=
d
Jo 3 (X-2) (x - B) dx
3/
3
d
(x-α) (x-B) da
{- — (B-α)³]
1
2
=
11 / ( 2 √ p² - m² )² = 1 - 8 - (p²
3
8.
(p²- m)²²
2
(各)
=
4 (ρ^-m)/1/2
(p²
(2) f(α)-f(B) = 4
(1)より
f'(x)
f"(x)
41P
(p²-
=
P²
m)
m
M
3
3
=
=
4
3 (x² + 2px + m)
= 3 (2x + 2p.1)
=
6 ( x + P )
(火)
=
0
とすると
6 (x + P)
= 0
x + p
=
0
x = P.
変曲点を(X, Y)とすると
y = tw
の
変曲点
1J
(-p. f(-P))
f(-P)
=
=
=
=
=
=
(-P) ³ + 3 p (-P)² + 3 m (p)
p
2 P
3
2
2 p²-
2P
-
3
+ 3
3
-
P
3
3mp
3mp
3 ( p² - 1
3p² + 3p
+
3P

ページ10:

=
=
-P
-
3
+
p =
- X
Y =
-
3
3
(-x)³
+ 3(-x)
3 ×
= ✗
3
求める軌跡は
y =
x³-3x
(谷)

ページ11:

3
0 10.0, 0)
A (0.1.1)
P (x. 9,0)
LOAP
=
30°
+1)
(x + 1) (y +
cos LOAP =
.
Aº A
AAP
=
-
①
(0, 1, 1) = (0,-1,-1)
Ao
AP
=-
=
-
= (x, y, O)
=
-
(0.1.1)
(xy-1,-1)
Ao AP
= 0.x
-
=
=
1-(4-1)-1-(-1)
9 + 1 + 1
-
9 + 2
| A 01 =
TAPI =
10²+ (-1)² + (-1)² = √2
2
x² + ( y − 1 ) ² + ( − 1)²
=
x
2
-
+(y-1)
2
+
①より
16
Cos 30°
2
√ √x²+ (9-1)²+1 =
-7+2
2x²+(y-1)+1
9+2
2
(x² + (y-1)² + 1
21-9 +2)
Ę ;D by T6 √√x²+ (9-1)*+ | > より
右辺も21-y +2) > 0
-4+2 > 0
(2)

ページ12:

-9
>
-
2
93052
0≤ 9
<
2.
②より
2
6 { x² + (9-1)² + 1 = 2' (-4 + 2)²
2
2
3 (x² + y² = 24 +1 +1) = 2(9 ² - 44 + 4)
2
3
X
+
り
-
69+6
2
=
2y
-
89+8
2
3 x
+
=
0
y + 2 y
3x²+ (9 +)
o≦y<2より
2
-
-
2
3x² + (4+1)²
(4+1)2
2
2 = 0
= 3
=
-3x²+3
1 ≤ 9 +1 < 3
1 ≤ (9+1)² <3
-
3x
+359
-25-3x²<6
x²3057
3
2
2
2
05
x
←
x
> - 2
S
124
3
厚
3
16
≤ x
3
≤
3
(5)
より
y + 1 > 0
より
4+1
=
J-3x+3
(x + 1) (9+1)
f(x)=
(x + 1)
fw =
=
3x²+3
とおく
(x+1)(-3x²+3)

ページ13:

f(x)=(x+1)^(-3x'+3)+(x+1)(+)
=
(x+1) | | (-3x²+5)* (-3x²+3)
=
1.(-3x²+3) +
=
(-3x²+3) +(x+1)
2
3x2+3
-382+3
-642
-
3X+
-3x+3
3x(x+1)
J-3x²+3
=
3(x+1)(2x-1)
2
J-3x²+3
f'(x)=0とすると
3(x+1) (2x-1) =0
x = -1
ノ
2x = 1
-
-
3x²+3
F3x
{(2x²+x-1)
3x
+
3
(-6x)
+
-
3
3x²
3x
x = -1
1
2
-1
+
2
+
f(x)
x
の増減表
Fixi
f(x)
f
16
3
+
=
=
Lom
|-|~
0
3
( -
| -
1
←
56
+1)
-
16
3
31-+
+3
+1)--3---+3
6
9
=1+1)-2+3
=
+
16
3

ページ14:

+(1/12)=(1/12+1)1-3 (123+3
=
=
3
2
3
.
12
か
4
=
+
3 3
2
2
+
9
4
f
2
(厚)=(+1)1-31ぶせま
6
=111-3+3
=
+)
9
(4+1)/-2+3+1+4
=
より
x =
x =
-
1
のとき
y+1
=
8+,(+)-8-
3
y + 1 = 31
y=
=
2
1=1-1/2=
2
1-3145+3
3
厚の
のとき
y+1
9 +1
y
最大値 2
最小値
=
リ
0
(x01/12/30/1/2 のとき)
=
1-4 (104.8=0のとき)
3
=X
3
(谷)

ページ15:

4
(1) to
2t
fet sinx dx < =
S
(証明) - 1 ≤ sin x ≤ | より
Link
§
x²
x2
2t
2t
Lin X
<
dx
t
20
·² (-) de f² de <fo² = 0
ここで
It
I
t x²
x2
da
2t
x" dx = [ — — x^"^) * *
2t
du
=
t
2t
t
=
-
=
x
t
+
2t
=
2
20
=
2t
2t
-(+)
①より
I
2t
<
L
Lin X
2t
t
x²
It
£in
20
x²
1
dx <
20
- { <- 1 <1 " thx de f
t
<
20
11 - 1/2 | <=
2t
5in x
t
x'
t
(2)
2t
lim for cos x de
L
t
x
=
(証明)
S₂
t
cos x
dx
x
0
t
(終)
2t
List = /= (cine)" da
x
It
= [ / sine] + + - | ( 1 ) sinxda

ページ16:

=
Fin't
2t
Sint
)
-
-
Sink dr
x2
Fin 20
Fint
20
Linx
+
dx
2t
t
t
x²
lim ["cos.
2t
x
dx =
lim I
Fin 20
t
x
t-p
2t
Fint
t
2t
£inx
+
dx )
t
x
Fin 2t
=
0
で
lim
20
Sin
t
lim
= 0
to
t
(1)より
2t
Link
dx <
t
t
x'
t
よって
lim ( — ) = 0,
はさみうちの原理より
lim
0
t+p t
lim f
20
Finx
dx
=
t+6
t
x²
2t
cos X
dx
= 0
- 0
+ 0 = 0
t
x
2t
cos x
dr
=
0
(終)
lim Se
t+p
lim S2
t→ b
x

ページ17:

x de
dx
(3) f(x) =
Sin
Aim so
t+p
(証明)
3
(^) sin (1)
fo
x
2
- dx= | | ² =
= Lin
=
2
2
(34) cin (11)
cos (.
33x
2
+
2
x
x
t
fixi
X
=
-
3x
x
2
2
2
-
cos
}
2
| cos 2x
=
2
cos x)
cos 2x
cos x
2
x
cos 2x
cos α
+
2
x
2
x
t
cos 2x
t
dx
+
x
fu
x
du
=
2
ここで
L
t
cos 2x
dx
x
2x = u とおくと
u
x =
2
da =
2
du
cos x
x
K
u
→ t
2
→ 20
1
t
cos 2x
da
20
L
x
cos u
=
L
2t
cos u
u
2
2t
cos
2
- foto foth and do
=
2
u
du =
2
x
2
du
dz

ページ18:

t
f(x)
x
dx
=
t
cos 2x
t
-
2
2t
---+
2 2
dx +
cos x
da
x
2
x
cos x
t
cos x
dz
2
x
2
k
=
2
dx +
21 t
x
X
***** de
t
2
x
2
t
COS K
cos x
=
2
=1/1
2
dx +
dz )
2t
x
x
t
cos x
dz
+0
+
x
Li
=
2
=
cosx
x
-da)
2
cosx
Le core dx )
It x
-da)
t
cos x
2t
cos x
da
+
dx
+
x
t
k
X-
cosk
dx
2
x
(終)

ページ19:

5 (1)
A B C
(H,H)のとき ABC, BAC, ABC
(HT)のとき
ABC, BAC
BCA
(T. H) a
とき
A B C
A CB, CAB
(TT)のとき
ABC, ACB, A B C
BCA
(HH)のとき
BCA, CBA, BCA
(HT)のとき
BCA,
CBA, CAB
(TH)のとき
BCA,
BAC,
A B C
(T.T)の とき
B CA,
BAC, BCA
✓
A CB
1
CAB
ABC
CBA
最初がABCより
BAC
I
BCA
✓
コインを2回投げたあとは
ABC, BCA, CAB
n回続けて投げたあと
ABC, BCA CABである確率を
それぞれ pu.
qn. Vn
とする
qk+1/
Peches = + PIR + + Gen +
2
V2k
2(4+1)
=
P2k +
Ź
92k + + + Vzk

ページ20:

-
P2 (4+1) - - 2 (+1) = (1 + - +/-) P² + ( — — — — — ) 2,26
4
P2K-924
=
Pzk
924
4
=
IP24
q2h)
=
=
(P2-²) (+)-1
1/
2
-
1-7
4
1-7
1.
k
=
(答)
(2)[1] n = 2kのとき
文字列は ABC, BCA,
CAB
Ph+
q
" +
Vn
=
h
√ n =
1 - Pn
①より
I
8214+17
=
P2k +
(924+ V24)
2
4
=
Pah +
2
4
✓ (1- Pak)
(②より)
=
=
÷
Plk +
4
I
-
+ Pak
| | || | |
+ P2K +
1
P2k +
+
4

ページ21:

P2(6)
1214+1)
d
=
d=
// P24 +
③ より
4α
= α
3α
=
4
+
4
(P2k-α)
D
とおく
1 +
=
3
1/2=1/4(P26-1)
④より
P2(k+1)
3
:
数列{P2h-1/2}は
3
公比/
2k
P24
-
3
=
n
の
等比数列
4
-++-
1-4
-
1-4, (+) ( — — — — ) -
k-I
k-1
2
(+) (+)-
1-7
-
=
=
(P2
片
3
P2k= 1/2(2)
h-1
+ +
E36
Pn
=
1
k
=
4
n
2
2
J-
3
3

ページ22:

=
3
n-2
n-1
- 3
+1
h-l
+1)
文字列は
[2]nが奇数のとき
ACB, BAC,CBA
ABC
ABCとなることはない
A CB
BAC
Ph=0
J.
CAB
I
BCA
✓
CBA
[1][2]より
ηが偶数のとき
Pn=
h- 1
nが奇数のとき
Ph=
0
+1)
(答)