ページ1:

2014年度8月第2回全統記述高2模試 自学@Akagi
【必須問題】(配点 50点)
数学Ⅱ
a, b, c, dは実数の定数とする. xについての2つの方程式
x2+ax+b=0,
x3 + bx2 + cx + d
がある。 ①の左辺を x-1で割ったときの余りは4である.
(1) bをαを用いて表せ .
(2)①は実数解をもつとする. αのとり得る値の範囲を求めよ.
(3)②の左辺をx2+x+1で割ったときの余りがx+αであるとする.
(i) cをαを用いて表せ. また, dの値を求めよ.
(ii) ①と②が共通の実数解をもつようなαの値を求めよ. また, そのと
きの①と②の共通の実数解を求めよ.

ページ2:

自学 @Akagi
x² + ax+b=0..①/ x³ + bx² + cx + d ···②
(1) ①の左辺を f(x) = x2 + ax + b とすると, f (1) =4だから
(2)(1)より
f(1) =12+a.1+b= 4 .. b = a +3
xax-a+3 = 0 ···①
...
①が実数解をもつには、 ①の判別式DがD≧0となればよさげ。
D≧0より
Da²-4.1.(-a+3)= a² + 4a-12 = (a + 6)(a−2)
a≤-6, 2≤a
(3) i)②の左辺をg(x) = x3 +bx2 + cx + d とすると,(1)より
g(x) = x³ + (−a+3)x² + cx+d
g(x) を x2 + x + 1で割ってみると
x+(-a+2)
x²+x+1) x³ + (-a+3)x²
+Cx
+ d
x³ +
x²
+x
(-a+2)x²
+(c-1)x
+ d
(-a+2)x²
[c+a-3=1
余りがx+αだから
+(-a+2)x+(-a+2)
(c+a-3)x+(d+a− 2)
\d+a-2=a
この連立方程式を解くと c = -a +4,d=2