【高2微分法】1月進研記述模試♡数学𓂃 𓈒𓏸◌‬

微分係数と導関数関数の値の変化導関数の応用微分法の応用

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.12.08 公開

高2 数学微分法進研模試過去問自学赤城 math ベネッセ過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

H.26 1月進研記述高2模試 @自学
2
B 7 3次関数 f(x) = x3 + ax' + 9x +1 があり, f'(2)=-3
を満たしている。また, y=f(x) のグラフをCとし, y軸上に
点P(0, k)をとる。 ただし, kは実数である。
(1) αの値を求めよ。
(2) C上の点(t, f(t)) におけるCの接線が点P を通るとき,
kをtを用いて表せ。
(3)点P を通るCの接線が3本あるとき,kのとり得る値の範囲
を求めよ。 また,この3本の接線のうち, 傾きが負であるもの
が1本だけあるとき,kのとり得る値の範囲を求めよ。
(配点 40)

ページ2:

自学
(1) f(x) = x' + ax2 + 9x + 1 を微分すると
f'(x) = 3x2 +2ax + 9
f'(2) = -3
より
3.22 +2a.2 +9 = -3
よって
a = -6
(2) 接線の方程式を求める。
微分して
よって
整理して
f(x) = x3-6x2 + 9x + 1
f'(x) = 3x2 +2・(-6)x+9 = 3x2-12x + 9
f'(t) = 3t2-12t + 9
点(t, f(t))における接線の方程式は、定点公式により
y-(t3-6t2+9t + 1) = (3t2-12t+9)(x-t)
y=(3t2-12t+9)x -2t3 + 6t2 +1 ...... ①
①が点P を通るから、 ①にx = 0, y=kを代入すると
k = -2t3 +6t2 +1

ページ3:

自学
(3)
k = -2t3 +6t2 +1. ②
前半:題意を満たすには、点Pが3つある
kが3つある
②を満たすが3つある
→ 直線 y=kと曲線g(x) = 2t3 + 6t2 + 1
の共有点が3つあればよさげ。
y = g(t) = -2t3 + 6t2 +1のグラフをお絵かきする。
g'(t) = -6t2 +12t=-6t(t-2)=0とすると t=0, 2
g (t) の増減表は
t
0
2
...
| 。 + 。
+
-
0
2
g'(t)
-
極小
極大
g(t)
1
9
グラフをお絵かきすると
|
y=g(t)
曲線と直線の共有点が3個となるのは
1 < k < 9
2
y=k-

ページ4:

自学
(3) f'(t)=3f2-12t+9
後半:接線の傾きが負になるのはf'(t) < 0
すなわち
これを解くと
3t2 -12t+9 < 0
(t-1)(t−3) <0
..1<t <3
よって、点P を通るCの3本の接線のうち、 傾きが負であるものが1本
だけである条件は
1<k<9かつ1<t < 3を満たし、k = -2t3 + 6t2 +1を満たす t
が1個だけ存在する
となればよさげ。
さっきのグラフで確認してみると・・
y = g(t)
9
5
·y = k
1
2
3 t
1 < k≦5