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(2)
f(x)=10g2(7-x)+log2(2x-2)
右辺をひとつの対数にまとめると
底2が同じだから
=log2(7-x) (2x-2)
足し算は掛け算で
まとめられるよ
よって、不等式 f(x) ≦3は
log2(7-x)(2x-2)≦3
と表せます。ここで、 右辺の3を底2の対数で表すと
すなわち
log2(7-x)(2x-2) ≦ log2 23
log2(7-x)(2x-2)≦log28
両辺の対数の底は2で等しく, 底2>1だから真数部分をみくらべて
(7-x)(2x-2)≦8底が1よりおっきぃ
から不等号の向き
あとは定義域に注意してこの2次不等式
はそのまま
を解くだけです。
(7-x)(2x-2)≦8
x 2 - 8x +11=0
→x=4±√5
.. x2 -8.x +11 ≧ 0
x≦4-√5, 4+√5 ≦ x
これと(1)で求めた1 <x< 7の共通範囲が解だから
1 <x≦4-√5閤

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(3) 関数 f(x) を整理すると
f(x)=log2(7-x)+log2(2x-2)
= log2(7-x)(2x-2)
= log2(-2x2+16x-14)
= log2 g(x)
増加数
真数部分をg(x) とおくと, 関数 f(x)の底は2で1より大きいから,
g(x)が最大のとき f(x)も最大となり,g(x)が最小のときf(x)も
最小となります。
ここで,y=g(x)のグラフをお絵かきして4≦x≦kのときの最大値
と最小値を求めてみますと
g(x)=-2(x-4)2 +18
y
Max
⇒ 軸: x=4
頂点: (4,18)
g(x)はx=4で最大
x=kで最小となるので
f(x)も x=4で最大
x=kで最小となります。
よって, f(x) の最大値はf(4)=log2 18
Min
k
X
最小値は f(k) = log2(-2k2+16k-14)
であり,これらの差が1だから
整理して
よって
log2 18-log2(-2k2+16k-14)=1
log2(-2k2+16k-14)+log2 2 = log2 18
log2 2(-2k2 +16k-14) = log2 18
2(-2k2+16k-14)=18
2k2 -16k + 23 = 0
-(-16)±√(-16)2-4×2×23 8± 3√2
すなわち
したがって
k=
2×2
∵1 <x<7
8-3√√2
4 <k < 7より
k
2
||
2