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(2)
■(1)より P(x) = (x-2)(x²-ax-a+8)
P(x)=0の解がすべて実数となるのは
2
x
-
ax-a +8=0
①が実数解をもつとき。
・①
すなわち, ①の判別式をDとすると, D≧0となるときだから
D=(-a)^-4(-a+8)≧0
..a² +4a-32 ≧ 0
∴ (a-4)(a+8)≧0
∴a≦-8,4≦a圏
P(x)=0の解がすべて0以上となるのは,を満たし,
2次関数 f(x) = x2-ax-a+8のy切片が0以上で,軸が
正となるときだから
2 1
f(x)=x-
--
-α+8
2
4
より, f(0) ≧0
かつ
> 0
2
すなわち a≤8
かつ α > 0
-8 0
4
8
a
よって, αのとり得る値の範囲は 4≦a≦8

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(3) • P(x)=(x-2)(x²-ax-a+8)=0の解のひとつが2だから
<
y = 2 とすると
Q = a² + B2 +22 + 2kaβ
=
= (a + b)² −2aß +2kaß +4
x²-ax-a+8=0の解がα, β なので, 解と係数の関係
= -a +8
により a + β = a, aβ =
よってQ = α-2(-a+8)+2k(-a + 8)+4
= α² + 2(1-k)a + 16k - 12
={a-(k-1)}-(k-1)^+ 16k -12
={a_(k-1)}-k2+18k-13
(2)で求めた4≦a≦8の範囲でこの2次関数の最大値が
76となればよいが, 軸が変化するので次の2通りに分けて
みます。
ア軸が4と8の真ん中より左, つまりk-1≦6,すなわち
k≦7のとき,a=8で最大となり、 最大値は
82 + 2(1-k)・8 + 16k -12 = 68
だけど76ぢゃないから不適。
468
イ 軸が4と8の真ん中より右, つまり6 <k-1, すなわち
7 <k のとき, a=4で最大となり,最大値は
42 + 2(1-k)・4+16k-12=8k + 12
で,これが76だから
8k + 12 = 76
68
よって
k=8圈 (7<kを満たす)