ページ3:

Z1 確率 (自学 Akagi)
(2) ~前半~
X = 1 (操作を行った後, 袋Aに入っている赤玉の個数が1) となるのは
次の二通ありそう。
i) 袋A(赤2, 白1) から赤玉2個を取り出し, かつ,
袋B (赤3, 白1) から赤玉1個と白玉1個を取り出す
(1)より
6
ii) 袋A (赤2, 白1) から赤玉1個と白玉1個を取り出し, かつ,
袋B (赤2, 白2) から白玉2個を取り出す
CxC
21
1
×
=
= -
3C2
4C2
369
iとiiは互いに排反だから, 求める確率は
~後半~
= 1(
1
+
1 3+2
69
=
=
18
5
18
条件付き確率⇒ある条件の確率÷すべての確率
X = 1 (_)であるとき,
18
袋 A から赤玉2個を取り出していた確率 (1/2)は
1
-
÷
5
3
=
答
-
6 18 5

ページ4:

Z2 関数 f(x) = pcos x-
=pcolx-7-2/3 cosx(pは定数)があり,
6
借
π
=0である。
3
(1) pの値を求めよ。 また, f(x) をasinx+bcosx(a,bは定数)
の形で表せ。
(2) f(x)をrsin(x+α) (r>0, -π≦a<π)の形で表せ。 また,
0≦x<2πのとき, 方程式 f(x)=-1を満たすxの値を求めよ。
(配点 20 )

ページ5:

●Z2 三角関数 (自学 Akagi)
(1)
:3
π
π
π
|=0より
p cos
3
6
π
:. pcos
6
2
. p=2
--
-
-2√3 cos
π
-2√3 cos=0
3
-2√3-0
=
3
= 0
6
p=2より
cos
f(x) = 2005√(x-7)-2√3 cos.x
πT
...
①
ここで
加法定理
6
6
よって①は
π
2 cos(x-77) = 2 (cosxcos 7 + sin x sin-
√3
6
=2(cosx. + sin x
2
= | 3cosx+sin x
f(x)=(V3cosx+sinx)–2V3cosx
=sinx−V3 cosx
2

ページ6:

(2)(1)より
合成して
f(x)=sinx-√3cosx
= 2 sin√(x-4)
f(x)=-1より 2sinx-
=-1
2.sin(x-1) =
sin x
3
π
3
1
++
π
π
x--=t
3
3
sint
3
=
2
<23)とおくと
1
-
範囲に注意して
元に戻すと
すなわち
x
x
π
||
2
π
6
3|2
36
||
7-6
π 7
6
答
6
π
π
7-6
-√3
1
1
πT
π
-6
2

ページ7:

Z3
aは正の定数とし, 関数 f(x) = x2 - 2ax+2a2+1がある。 座標平面
-
上に放物線 C:y=f(x) があり, C上の点(2a,2a2+1)におけるCの接
線をlとする。
(1) f'(x) を求めよ。 また, lの方程式をαを用いて表せ。
(2)Cの0≦x≦a の部分, l, y 軸, および直線x=αで囲まれた部分
の面積をSとする。 S= となるようなαの値を求めよ。
56
3
(3)αを(2)で求めた値とし, は0<t<a を満たす定数とする。 C上の点
B(t, f(t))におけるCの接線をmとし,l, m, およびy軸で囲まれた
三角形の面積をTとする。 が 0 <t<a の範囲で変化するとき,Tが最
大となるtの値を求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ8:

Z3:微分法と積分法(自学 Akagi)
►C: y = f(x) = x² - 2ax +2a² +1 A(2a, 2a²+1)
(1) f'(x)=2x-2a
lは, 傾きが f'(a) =4a-2a=2aで点 A (2a,2a2+1)を通る直線
727775
y-(2a²+1)=2a(x-2a)
(2)図より
y = 2ax-2a² +1
S = ſºª {(x² − 2ax + 2a² + 1) − (2ax − 2a² +
− - 1)}dx
-
= f (x² - 4ax +4a²)dx
1
= [{}½³x²³ − 2ax² + 4a²x²
=
1
3
3
-
a³ -2a3³ +4a³
これが56 だから
3
a>0より
7
a
0
== a
3
7
=
3
:. a³ = 8
a = 2
CE
e下
@Akayi
56
0
a
x
53

ページ9:

(3)a=2のとき f(x) = x2 -4x + 9
▷f'(t) = 2t-4とB(t, f -4t + 9 ) より,mの方程式は
y-(t2-4t+9)=(2t-4)(x-t)
|y = (2t-4)x-12+9
lとの交点のx座標は
4x-7=(2t-4)x -12 +9
∴ 2(t-4)x = (t + 4)(t-4)
m
2 (t-4)は0ぢゃないから
t+4
|x=
2
@A
t+4
2
よって,図より T = {(-L2+9)-(-7)}× 2 三角形の面積
t+4
2
=(2-412+16 +64) 3次関数
4
このときT'=--(31² + 8t-16)
---
4
4
-(3t-4) (t+4) T'=0のときt = -4,
0<t<2の範囲でTの増減表をお絵かきすると
t
4
3
...
2
T'
+
0
-
T
7
Max
4
t =
答 のときTは最大となる。
3
4-3
44

ページ10:

Z4 座標平面上に, 点A(1,3)と直線l:x-2y=0がある。 lに関して
点Aと対称な点をBとする。 また, 点P はℓ上の点であり, かつ x 座標
が正の部分を動く。
(1)点 B の座標を求めよ。
(2)△PAB が直角二等辺三角形になるとき, 点Pの座標を求めよ。
(3)点P は(2)で求めた点とする。 点Pで直線lと接し,点Bを通る円を
Cとする。また,点 QはCの周上を動き, 点Rは△PAB の外接円の
周上を動く。 線分 QR の長さが最大となるときの Q R の座標を求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ11:

Z4:図形と方程式(自学 Akagi)
(1)点 B の座標を B (a, b), 線分ABの中点をDとします。
▷ D は ABの中点だから
1
Dはl: y=-x上の点だから
2
D(1+0.3+b)
2
2
3+6 1 1+α
==
2 2 2
∴.a-2b=5
▷ 直線AB の傾きは
b-3
a-1
b-3
AB⊥ℓより
×
α-1
1
-
2
||
①と②を連立方程式として解くと
したがって B(3, -1)答
①
∴2a+b=5
②
Ja=3
1b=-1

ページ12:

(2)点Pはℓ上の点だから
P(k, 1½ k )
*
:) k>0
と表せる。
△PAB が直角二等辺三角形となるとき, AP = BP かつ∠APB = 90°
だから, 三平方の定理より AP2 + BP2 = AB2 が成り立つ。
-
o AP² = (k−1)² + (k − 3)²
-
-
−3
=
5k²-5k+10
4
o BP2 = (k − 3)² +(k+1)²
(k-3)²+(
5k²-5k+10
=
4
o AB² = (3−1)² + (-1-3)² = 20
これらより
4
k²-5k+10)+(k²
k25k+10) 20
4
=
k0より
k = 4
したがって P(4, 2)答
k(k-4)=0

ページ13:

(3)円Cの中心と半径を求めます。
P(4, 2)を通りℓに垂直な直線をm
とすると, y-2 =-2(x-4)
∴m:y=-2x+10
よって、円Cの中心は
E(c, -2c+10)
PE = PB より PE2 = PB2 だから
A
\77
R
D
F/
B
P
(c-4)² +{(-2c+10)-2}=(c-3)2 +{(-2c+10)-(-1)}
∴.c=5
円Cの中心がE(5, 0)だから, 半径はPE=√12 + 2^ = √5
よって、円Cの中心はE (5,0), 半径 5
▷ △ABP の外接円の方程式を求めます。
中心はDだから(1)より D(2, 1)
半径は AD だから
AD = =√(2-1)^+(1-3)²=√5
よって, △ABP の外接円の中心はD(2,1), 半径√5
Q
線分 QR の長さが最大となるのは, 図のように (ちょっと変だけど)
R･F･Q が一直線上にあるとき。
ここで, DE = √(5-2)^+ (0-1)^= √10, EQ=√5 だから
DQ : QE = (V10+√5):√5 = (√2+1):1
よって, Q は DE を√2+1:1に外分する点なので
(-1.2 + (√2+1)5 -1.1+ (√2+ 1) ·0'
(√2+1) -1
10 +3√2
√2
2
2
(√2+1)-1
同じように, R は DE を 1: √2+1に外分する点なので
R
(V2 +1)・2+(-1)・5,
-1+(√√2+1)
4-3√√2 2+√√2
(√2+1) ・1+(-1)·0)
-1+(√√2+1)
答
2
2
おつかれさまm(__)m

ページ14:

Z 5 初項x, 公差yの等差数列{a}と,初項y, 公差 xの等差数列
{6}があり, a3 = b3 +1, a4 = bs を満たしている。
(1) x, yの値をそれぞれ求めよ。
n
(2) Σakbk (n=1, 2, 3, …)をnを用いて表せ。
k=1
(3)自然数nに対し, n2を3で割った余りをc (n = 1, 2, 3, …)とする。
3n
k=1
11
akbkk (n=1,2,3, …)をn用いて表せ。
Akagi
(配点 40 )

ページ15:

Z5:( Akagi)
(1) a=x+(n-1)y, b₁ = y + (n-1)x
▷_a3 = b3 +1 より
▷ α ₁ = b₂
より
x+(3-1)y = y + (3-1)x+1
x-y=-1
x+(4-1)y = y + (5-1)x
3x-2y= 0
①と②を連立させて解くと
(2)(1)より
よって
であるから
k=1
x = 2, y = 3
②
a =2+ (n-1)x3=3n-1
12
b=3+ (n-1) x 2 = 2n+1
"
ab= (3n-1)(2n+1)= 6n² + n − 1
"
Σabk =Σ(6k² + k − 1)
k=1
=6x-n(n+1)(2n+1)+n(n+1)-n
7
1
= 2n³ +
·n" +
n答
2
2

ページ16:

(3)3で割ったときのあまり ( 0, 1, 2)で分けてみます。
i) n=3k (あまり0)のとき
よって
ii) n=3k-1 (あまり1) のとき
n² = 9k² = 3x (3k²)
=
n2=9k2-6k+1=3(3k2-2k) +1
よって
C3k-1
C3_ = 1
山) n=3k-2(あまり2)のとき
よって
n2=9k2-12k + 4 =3(3k2-4k + 1) + 1
C3_2 = 1
an
=3n-1
これらより
b=2n+1
a3b3c3k = (3.3k-1)(2.3k+1).0 = 0
a3k-1b3k-13k-1 = {3(3k - 1) −1}. {2(3k -1)+1}·1 = 54k² - 33k+4
a3k-2b3k-23k-2 = {3(3k - 2)-1}. {2(3k -2)+1}·1 = 54k² - 69k+21
よって
3n
n
Σabck = Σ (a3b3c3k + a3k-1b3k-1C3k-1 + a3k-2b3k-2c3k-2)
k=1
k=1
n
= {0+ (54k² - 33k+4)+(54k² − 69k +21)}
k=1
n
= (108k² - 102k +25)
k=1
-
= 108×n(n+1)(2n+1)-102 ×―n(n+1)+25n
——n(n+1)(2n+1)−102 ×
= 36n3 + 3n²-8n
< ±½±n(n+1)
シグマ計算の練習になるね

ページ17:

Z 6 a,b,cを実数の定数とする。 x の3次式P(x)=x3 + ax2+bx+c
があり,P(x)はx-3を因数にもつ。
(1)ca, b を用いて表せ。
(2) P(x)をx+1で割った余りとP(x) を x-2で割った余りが等しいとき,
bをαを用いて表せ。 また,このとき,P(x)をx-3で割った商を
Q(x) = x2 +px+q(p, q は実数の定数)とする。 p, q をそれぞれa
を用いて表せ。
(3)(2)のとき,xの2次方程式 Q(x)=0が異なる2つの実数解 α,β
をもち, |α|+|β| = 3を満たすようなαの値を求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ18:

Z6:複素数と方程式 (自学 Akagi)
(1) P(x)はx-3を因数にもつから因数定理により P(3) = 0 。
よって
P(3) = 33+ a 32 +b.3+c=0
c-9a 3b-27
-
(2)(1)より
P(x) = x²+ax² + bx-9a-3b-27
P(-1) = P(2) より
このとき
-1+a-b-9a-3b-27=8+4a+2b-9a-3b-27
b=-a-3
P(x) = x³ + ax² + (-a-3)x-9a-3(-a-3)-27
= x² + ax² - (a+3)x - 6a -18
P(x)をx-3で割ると
+1 +a
-(a + 3)
-6a-18 | +3
+3
3a +9
2a +6
+1 a +3
2a +6
-4a-12
よって, 商はQ(x)=x2+(a+3)x + 2a + 6 だから
p=a+3, q=2a +6

ページ19:

(3)(2)より
Q(x) = x2 +(a + 3)x +2a + 6 = 0
異なる2つの実数解をもつので,D>0だから
D=(a+3)2-4(2a+6)= a2-2a-15=(a+3)(a-5)>0
a <-3, 5<a
......
また,解と係数の関係により (a<βとする)
a + β = -(a +3)
......(2
aβ = 2a + 6
......
(3)
ここで,|α|+|β=3の両辺を2乗してみると
(|a|+||)2=32
∴ | a 2 +2a || B|+|βf=9
∴ α² + 2 \ aβ \ +B2=
=9
∴ (a + β)2 - 2aβ + 2 | aβ |= 9
②と③を代入して
{-(a+3)}}-2(2a + 6) + 2 | 2a + 6 |= 9
∴ a² + 2a -12 +4 | a + 3 == 0
絶対値をはずすために ① の範囲を考慮すると
i) a < -3 のとき a2+2a-12-4(a + 3) = 0
介
∴.α2-2a-24 = 0
∴ (a+4)(a-6) = 0
a = -4
条件より
ii) 5 < a のとき
a 2 + 2a - 12 + 4 (a +3) = 0
T
∴. a² + 6a = 0
.. a(a+6) = 0
条件を満たすαはないの。
以上より a = -4答

ページ20:

|Z7
p を正の定数とする。 数列{a}は
n
a = 4, an+1=an+p (n=1, 2, 3, ...) を満たしている。また,
n
数列{b,}はb, + b2+b3+... +b=3n2+3n (n=1, 2, 3, ...)を
満たしている。
n 1
(1) lim
=
が成り立つとき,pの値を求めよ。
nan
2
(2) b, を n を用いて表せ。また, lim(b,, -√6m)を求めよ。
8
n+1
(3) p を(1)で求めた値とする。このとき, lim(ambini - Va,b)を
11-00
lan+10n+1
求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ21:

Z7:数列の極限 (自学 Akagi )
n
(1) α = 4, a1= a +p ⇒ 等差数列型の漸化式
数列{a}は, 初項 4, 公差 p の等差数列だから, その一般項は
だから
a„=4+(n-1)p=pn-p+4
n
n
1
1
1
lim
lim
n→ an
n 1
|=
2
より
pn-p+4
p = 2答
= lim
= lim
→8
P 4
p-0+0
P
P
+
-
nn

ページ22:

(2)
S₁ = b₁+b₂+b3 + ··· + b₂ = 3n² + 3n
とすると, n≧2のとき
n
= S,, - Sn-1.
=
-
= (3n² + 3n) − {3(n − 1)² +3(n−1)}
=3n² + 3n-(3n² - 6n+3+3n-3)
= 6n
ここで, b, = 3.12 +3.1 = 6 だからこれはn=1のときにも成り立つ。
: − √6n
b.
lim(√b„+ − √b„ ) = lim(√6(n+1)
-
= lim
→8
= lim
= lim
∞の不定形
6n+6-√√6n
-√6n
√6n+6+ √√6n
分子の有理化
1
√√6n+6+√√6n
6n
6
6n+6-6n
6n+6+
→8
=0答
6n+6+√√6n

ページ23:

a =2n-2+4=2n+2
b₁ = 6n
(3) p=2とすると
(2)より
よって
a+b+1
727775
=
= {2(n+1)+2}.6(n + 1) = 12(n+1)(n+2)
ab (2n+2) 6n = 12n² + 12n = 12n(n+1)
n
=
lim√ab-√ab)
→8
因数分解してみた
lim(√12(n+1)(n+2) − √12n(n+1)) ∞∞の不定形
→8
-
= lim √12. √(n+1)(n+ 2) − √n(n+1)
=
→8
lim √12.
→8
= lim √12
1
(n+1)(n+2)-n(n+1)
√(n+1)(n+2) + √n(n+1)
2n+2
√n ² + 3n+ 2 + √√n ² + n
=
lim √12..
3
1+
+
n
= √√√12.
2+0
2+
n
2
2
2
n
+
+
n
(n+1)(n+2)+√n(n+1)
√(n+1)(n+2) + √n(n+1)
分子の有理化
分母分子をn で割る
n = √n²
n
=2√3答
√1+0+0+√√1+0

ページ24:

1
平行四辺形 OACB があり, OA = 2, OB = 3, cos ∠AOB
-
3
Z8
である。 辺 BC を12に内分する点をDとする。
また, OA =a, OB=bとする。
(1) 内積abの値を求めよ。 また, OD を a, b を用いて表せ。
19
(2) 辺 AC上に点E を, OD・OE = を満たすようにとる。 OE を a, b を
9
用いて表せ。
(3)(2)のとき,線分 OD の中点をMとし, 線分 OE上に点Pを,3点
M,P,Aが同一直線上にあるようにとる。 OP を a, b を用いて表せ。
さらに,平行四辺形 OACB の面積をSとし, △OPM の面積をTとす
る。
S
の値を求めよ。
(配点 40 )

ページ25:

②
C
(2)共線条件より
AE = kAC
よって
OE = OA + AE
=OA + kAC
=a+kb
これと(1)より
①
ODOE =(a+b)・(a+kb)
19
3
B
1 D
lap+(=k+1)ab+k16120
3
=1/2x22+1/+
3
25
x22+(k+1)×(-2)+kx32
= -k
3
25
2-3
--
3
E
3
39
①に代入して OE = a +-b
これが 102 だから 2/2 k-238-2102 k=/1/3
19
----
..
w/
-b答
→AE: EC=①:②
A

ページ26:

Z8:ベクトル (自学 Akagi)
(1) a
|a|=2, |b|=3, cos ZAOB =
より
a b = 2×3×(-
(-/-)
また
OD
=-2答
= OB + BD
= OB+-BC
||
=
b+
1-3
3
a
→
+b
B
1 D
②
C
3
0
A

ページ27:

(3)M は OD の中点だから
→
OM =
-OD =
a+-b
2
62
B
①D
C
(ア)
M, P, A は同一直線上にあるから
共線条件により
MP = sMA
始点の統一により
OP-OM=s (OA-OM)
∴ OP = sOA + (1-s)OM
これと(ア)より
OP = sa + (1-5) (±² à + ——b)
6
M
0
..
OP = (1 + 5s) + (1 − s)b
-
(1-s)b
・(イ)
6
2
O, P, E は同一直線上にあるから, 共線条件により
1
1
+-tb
OP=fOE t(a+b)
= tOE = t(a + b) = ta+
+ b) = la + — ib
･･(ウ)
a,bは一次独立だから, (イ)と(ウ)の係数をくらべて
| = =
(1 + 5s) = t
-s)
4
-
7
9
E
P
14
t=2を(ウ)に代入してOP=2
→
14
14
3
a+ -b答
14
TO BE CONTINUED.
A

ページ28:

B
D°
C
(3) つづき
AOPM T
▷ MPPA = 4:3) T = =AOMA
M
4
a
E
AO
7
Mは OD の中点だから AOMA =
-AOCA
B
D
C
2
41
2
よって TT=x-AOCA =
=
7 2
AOCA
M
7
▷ OC は平行四辺形の対角線だから AOCA
=
S
2
2 1
よってT
=
S =
B
D
C
7 2
7
したがって1
M
0
P
E
E

ページ29:

2,3とする。
Z 9 z' = 2 + 2i を満たす異なる3つの複素数を z1,
2, z3 とする。ただ
し,iを虚数単位とし, 1, 2, Z3の偏角は0 < argz <argz2 < argz3 < 2π
を満たすとする。
(1)2 + 2i を極形式で表せ。 ただし, 偏角は0以上2未満とする。
(2)22
を極形式で表せ。 ただし, 偏角は0以上2未満とする。
(3)複素数平面上において, 2, 3 を表す点をそれぞれ A,Bとする。
2
また,∠ACB = -π, AC = BC を満たす点をCとする。 点 C を表す
3
複素数 wを求めよ。
Akagi
(配点 40 )

ページ30:

● Z9: 複素数平面 (自学 Akagi)
2
(1)2 + 2iの絶対値は V22+22=2√2
π
偏角は右図より
4
2
π
よって, 2 + 2i を極形式で表すと 2 + 2i=2√2 (cos+isin) 答
4
4

ページ31:

(2)
とおきます。
|z=r(cosO+isin0) *r > 0,0≦02
教科書の例題にあったやっ
モアブルさんにより z3 =r3(cos30 + isin 30 )
これと(1)より
r(cos
r3 (cos30 + isin 30)=2√2 (cosT+isin
π
4
4
絶対値と偏角をみくらべて
13=2√2
π
ぐるぐる回るよ 30= +2nл
=―
4
r = √2 (∵r > 0)
πT 2
-
12
0≦0 <2πを満たす整数はn = 0, 1, 2だから
+
-
-nπ
3
17
・π,
π
12
3-4
12
3
Z2
の偏角は小さい方から2番目だから
4
3
3
したがって
Z2 = √2 (cos2π+isin
+isinл)
4
4

ページ32:

(3)~整理 ~
π
=√2(cos- +isin
12
πT
12
3
4
17
=√2 (cosπ+isinπ)
(2)より
z₁ =
3
Z₂ =
4
23=
√2 (cos 17
12
ここで
=
Z1・Z3 =√2+√2
3
π+isin π)
12
π 17
cos( + π) +isin(
12 12
3
・π
=2(cos227 + i sin 2/27)
- 2i 点B
A
3
4
=√√2 (cos-m+isin-π)
また
Z₂ =
3
4
-1+il 点
偏角どうしは足し算
になるよ
17
+ π)
12 12
これらを複素数平面上に
お絵かきすると(ちょっと変だけど)
M
△AMC≡△BMC で, 1:2:√3の直角三角形だから
Bを回転の中心としてAを±30°回転し,
AB を
√3
した点が C
続く
IB
m

ページ33:

続き
i)Cが,Bを中心として+30°回転し,ABの距離を 1 3 倍した点のとき
π
w=(Z2-Z,3) (cos+isin
6
√3 1
=(-1+i+2i)(-
1
回転公式
π
× +2,23
1点を中心とする
+ (−2i)
教科書 p.98
3
i答
6
+-ix
2 2
1+√3+√3
2
ii) C が, B を中心として-30°回転し, AB の距離を
w=(Z2-Z,Z3) (cos(-7)+isin(
6
√3 1
=(-1+i+2i)(-
-
2 2
=-1+√3+-3+
2
6
√√3
i
+isin(-1/2)) x
1
× +2,23
√3
i)×· +(-2i)
3
おしまい
倍した点のとき