ページ3:

(2) f(x) = log2(x-1)+210g(3-2x)
▷ 真数は正だから x-1>0, 3-2x > 0
▷ 底2で変換すると log4 (3-2x) =
3
..1< x < ①
2
log; (3-2x) = -log;(3-2x)
f(x)=log2(x-1)+2log4 (3-2x)
1
log2 4
=log2(x-1)+2-log2(3-2x)
2
=log2(x-1)(3-2x)
= log2(-2x²+5x-3)
▷g(x)=-2x'+5x-3(1 <x< 2/23)とおくと
=-2x^2-2x)-3
2
(x-2)2 +2.12-233-3
4
=
-2(x
は一部
5
=-2(x-- +
4
1
8
2
f(x) は底が2だから増加関数なので, g(x) が最大のときに f(x) も
最大となる。
範囲(①)に注意すると,g(x)の最大値は一だから, f(x) の最大値は
log 2
1
-
8
= log2 2-3 = -3答

ページ4:

(3) ▷ y = x3 + 2x2とx軸との交点のx座標はx=-2,0
▷ 簡易グラフをお絵かきすると
L₂ (x³ + 2x²)dx
=
2
・x +
4
3
= (0+0)-(4-
4-
==
-
16
3
1-2
3
0
(4)部分分数分解すると
n
1
k=1
4k² -1
=
11
k=1
▷ 書き出してみると
k=1
1
4k2-1
=
1
2
1
(2k-1)(2k+1)
{G
+
3
=
+
1
_1
22k-12k +1
ドミノ型
(133) + (271-121/+1)}
5
=
||
2
n
2n+1
1
2n+1

ページ5:

(5) ▷ 三角形 OAB をお絵かきする。
(i) 内分点の位置ベクトルの公式により
OC =
30A +10B
1+3
=200+100
OB
4
4
A
(ii) | OC | はいきなり求められないので,
まずは2乗の値を求めます。
|OC|= 30
1
| 30A + OB 2
60°
3
=
4'
1
42
(9 | OA |² +60A · OB+ | OB |²)
①
ここで,|OA| =2,|OB| =3であり,∠AOB=60° だから
内積の定義により
OA・OB = |OA || OB | cos 60°
よって, ① は
=
2×3×1/2
= 3
|OCP-112 (9.22 +6.3+32)
=
-
4'
63
16
|OC | >0 だから
OC |=
63
16
=
3
4
√ 答
B

ページ6:

2 【II型 必須問題】 (配点 40点)
1個のサイコロを繰り返し振る. k回目 (k=1, 2, 3, ...)に奇数の目
が出たら,その目の数をxとし,偶数の目が出たら,その目の数を2で
割った商を x とする. このとき,
と定める.
Sm = x + x2 + x +... +x (n = 1, 2, 3, …)
z μ
(1) S = 3である確率, S2 = 6 である確率をそれぞれ求めよ.
(2)S4=12である確率を求めよ.
(3)S4=12であったとき, S2 =6である確率を求めよ.

ページ7:

2 確率 (自学 Akagi)
準備: x=1となる確率は ○1の目が出る :
6
1
o2の目が出る:
6
-
+
1
-
6 6
=
Xk=2となる確率は 4の目が出る:
1
3
1
6
1
o6の目が出る :
6
6
1
--
3
xk =3となる確率は 3の目が出る :
Xk=4となる確率は
xk =5となる確率は
○0
--
6
+
1
6
5の目が出る :
Xk=6となる確率は0
1
6

ページ8:

(1)S, = x = 3となるのは,3の目が出る場合と6の目が出る場合の
二通であり,これらは互いに排反だから, 求める確率は
▷ S2 = 6 となるのは
3
= 3)
(x=1, x2 = 5),(x=2, x2 = 4),(x=3, x2 =
(x = 4, x2 = 2),(x = 5, x2 =1)
の五通りあり、これらは互いに排反だから, 求める確率は
11
-
36
-+ -x0 +
1
1
-
3
+ 0x
1 11 2
・+
-
×
--
答
9
66
3

ページ9:

(2) S=12
▷ 1, 2, 3, 5 の四つの数 (重複あり)をたして12になる組み合わせは
次の四通りありそう。
4! 1
*200*
-
2! x 2! 6 3
1
=
54
1000-27
2! 6
3
○ (5,5, 1, 1):
4!1
o (5, 3, 3, 1):
4!1
○ (5,3,2,2):
o (3, 3, 3, 3):
(3,3,3,
(3)
==
81
3
=
1000-4
2! 6
1
1
=
||
54
答
これらは互いに排反だから, 求める確率は
1 2 1 1 3 +12 +3 + 2
1
+ ・+
-
+
54 27 54 81
=
162
10
=
81

ページ10:

(3)(2)より S =12である確率は
10
-
81
①
S4=12かつS2=6となるのは、大きく分けて次の三通り。
o (1, 5, 1, 5), (1, 5, 5, 1), (5, 1, 1, 5), (5, 1, 5, 1)
->
x4=
(()×4
3 6
-
1
81
o (1, 5, 3, 3), (5, 1, 3, 3), (3, 3, 1, 5), (3, 3, 5, 1)
3 3 6
(3,3,3,
o (3, 3, 3, 3)
2
lx4. =
-
81
=
3
1
81
これらは互いに排反だから, S4=12かつ S2 = 6 である確率は
1 2 1 4
+ +
-
==
81 81 81 81
2
したがって, S4 =12であったとき, S2 =6である条件付き確率は
②1 より
4 10 2
÷
81 81
---
-5
答

ページ11:

3 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点)
a を正の定数とし,0≦02において, 0の方程式
a sin 20-2a² cos 0 - sin 0 + a = 0
を考える.
...(*)
(1) a=1のとき, (*)を解け .
(2) (*)がちょうど3つの解をもつようなαの値を求めよ.
(3) (*)がちょうど4つの解をもつとする。 4つの解のうち最小のものをα,
最大のものをβとするとき, a + β の値を求めよ.

ページ12:

3 三角関数 (自学 Akagi )
(1) a=1のとき,(*) は
sin 20-2cos 0- sin 0+1 = 0
2倍角の公式より
2 sincos 0-2coso - sin0+1= 0
くくり出して
2 cos (sin 0-1)-(sin0-1) = 0
くくり出して
.. cos
0≦02πより
(2cos 0-1)(sin0-1) = 0
π
3
'
1
2
5
-
3
π,
sin 0 = 1
π
2
答

ページ13:

(2)
a sin 20-2a² cos 0 - sin 0 + a = 0
2倍角の公式より a2sin Ocos0-2a² cos0-sin 0+ α = 0
∴ 2a cos (sino-a)-(sin0-a) = 0
∴ (sino-a) (2acos 0-1) = 0
1
... a...1,
∴. sin 0 = a... ①, cose =
②
2a
ここで整理
①が解をもつためには -1 ≦ sin 0≦1 より -1≦a≦1
α > 0だから
⚫ a = 1
•0<a<1
のとき, 0は1個
のとき, 0は2個
②が解をもつためには1 ≦ cos≦1より
a > 0だから
・a
のとき, 0は1個
2
のとき, 0は2個
2
2a
よって, (*)がちょうど3個の解をもつのは次の三通りありそう。
ア) ①が1個, かつ②が2個
イ) ①が2個, かつ ②が1個
ウ) ①が2個, かつ②が2個 ただし, ①と②の1個ずつが同じ

ページ14:

(2) つづき
ア)のとき, a=1
かつ
ka だから a=1
2
1
イ)のとき, 0<a<1かつ a =
だから a
2
2
ウ)のとき, ①と②をともに満たす日を αとすると
1
sin aa, cos a
2a
相互関係 (sin' a + cos' a =1)より
a2+(-
=
1
∴. 4a4-4a² + 1 = 0
2a
.. (2a²-1)=0
√2
a>0より
2
これは,①と②がそれぞれ2個ずつ解をもつ条件を満たす。
1 √2
ア, イ, ウより a=
1答
2 2

ページ15:

1
(3)in0a... ①, cose
=
=
②
2a
①の2つの解のうち, ちっちゃい方を 0, とすると,
<
で
00 <= sinQ=aより
2
os 0₁ = √√1-a²
0,=
どっちが
②の2つの解のうち, ちっちゃい方を 02 とすると,
|大きいの?
1
0 <0, < で
cos 0, =
2
coso と cos O2 の大小関係を確認します。
2а π-0
0
02
cos202-cos
1
-
-
=
2
-(1-a²)
2a
4a4-4a2+1
=
4a'
4a²
(2a² -1)²
4a²
12-02
2a2-1
>0 (a
.)
2a
2
よって cos'02 > cos' 0 であり, cos 02 >0, cos0 >0だから
cosQ2 > cose
0.02 第1象限にある角だから
10.02
▷このとき, 4つのうちいちばん大きい角は2-02 となる。
以上より, α = 02, β2-02 であるから
a + β = 02+(2π-02)
= 2 答
むずい...

ページ16:

4 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点)
xy平面上において, 連立不等式
x≧0, y≧0,x + y ≦1
で表された領域をDとする.
(1)点P(x,y)がD上を動くとき,
X = 2x - 6y, Y = 5x + y
によって定められる点 Q (X, Y) が存在する領域を XY 平面上に図示
せよ.
(2)αを実数の定数とする. 点P (x, y) がD上を動くとき,
(2x-6y-a)^+ (5x + y ) 2
の最大値をαを用いて表せ.

ページ17:

4 図形と方程式 & 領域 (自学 Akagi)
(1) X = 2x-6y, Y = 5x + y を連立方程式としてx, yについて解くと
y =Y-5x・・・ ① より
X = 2x - 6(Y-5x)
X + 6Y
∴.x
32
- 5X +2Y
①に代入して
y =
32
これらがx0,y≧0, x+y ≦1を満たすので
X + 6Y
32
- 5X +2Y
X + 6Y
≧0,
≧0,
- 5X +2Y
+
≦1
32
32
32
整理して
5
Y≧--x…(ア)y≧=x…(1) Y≦-x+4…
6
(ア)~(ウ)をお絵かきすると
2
+4･･･(ウ)
(ア)
-6
※境界を含む
(イ)
(ウ)
YA
5
1
0 2

ページ18:

X = 2x - 6y, Y = 5x + y を代入して
(2)
(2x-6y-a)+(5x+y)²=r(r≧0)とおく。
(X-a)2+Y2= =r
(円)
(円)の方程式は, 中心が (α, 0) で半径が√rの円を表すので, 半径が
最大のときを考えればよさげ。
(円)の中心はX軸上を動くので、A(-6, 1), B (2,5)とし,AとBか
らの距離が等しい X軸上の点 C で分けて考えます。
点Cの座標を(s, 0) とすると, AC2 = BC2 より
1
(s + 6)2 + (0-1)^ = (s-2)^+ (0-5)^
2
∴.c(- 0)
-
2
i) a<-12 のとき,(円)が点 B を通るときにrが最大となるので
2
r = (2− a)² + 5² = a² - 4a+29
ii) a≧-1のとき,(円)が点 A を通るときにrが最大となるので
2
r = (−6 − a)² + 1² = a² +12a+37
i, ii より
a <
1/12のと
このとき,最大値は α² -4a + 29
a≧-- のとき,最大値はq² +12a + 37
0
2

ページ19:

57
(ア)
ここ
1
・6
10
--
2
(イ)
ここ
(ウ)
X
2

ページ20:

5 【II型 選択問題】 (配点 40点)
平面上に直線lとそれに接する半径1の円 C がある. 図のように,C,
の右側にありCとに接する円を C2 とする. 一般に, n = 1, 2, 3, … に
対して, C, の右側にあり C, と1に接する円を C71 とする.また, C, の中
心をA,, 半径を r, C, と1の接点をB, とすると,
n+1
C₁₁
が成り立っている.ただし, pは1<p<2を満たす定数とする.
AmB:AmA+1=1:p (n=1,2, 3, ...)
C2
C3
A₁
A.
B₁
B₁₂
8
B3
1
(1) In-1 を r, p を用いて表し, r, を求めよ. また, y = 3となるような
p の値を求めよ.
(2) p を (1) で求めた値とする.
(i) B,Bm+1 を求めよ.
(ii)極限値 lim BB を求めよ.
(!!!)
→8
n=1
α = limB,B,とし, β を正の定数とする. 極限 lim (B,B„-α)β"
8
8
が0以外の値に収束するようなβの値と, そのときの極限値を求めよ.

ページ21:

5 極限 (自学 Akagi)
(1) A,B,A,A₂ = 1: p
=
C₁
1: (1+2)=1: p
r2 (2+3)=1: p
|r₁ = (r₂+rn+1)=1: p①
A2B2A2A 1: p
→
AB: AA+I =1: p
C₂
C3
A
R
12 A2 12
13 A3
=1
r3
=1
B₁
r₂
B₂
①の比例式を解くと,+P+1=prm
B3
rn+1=(p-1)r, 答 等比数列型の漸化式
数列{r, }は, 初項 1, 公比p-1の等比数列だから, その一般項は
r = 1. (p −1)"¯ = (p − 1)"-¹
このとき, 0 <p < 1より
0<p>1より
8
8
=
1
1
n=1
n=1
Σr. = Σ (p-1)** − 1-(p−1) ¨ 2-p
=3より
初項 1, 公比p-1の無限等比級数の和
||
答
5-3

ページ22:

5
(2)p=1/2とする。
(i) B.B.
B„B„+1 = √(r; +r+ )² − (1 − +1)²
ここでrn
BB +1
=
3.
-
,rn+1 =
3
-
=
2
=
=
"
5
11+1
-
n+1
より
||
2√6
3
2√6
3
11
= √(²)*%
r-In+1
1
rn
+Pn+1
B,Bu+1
'n+1

ページ23:

(2) BB
'n+1
= √(²)"
= √²)* ***
2√6
※初項
公比の等比数列
3
3
(ii)
lim B,B
11-8
(iii)
n-1
=B,B2 + B2B3 + ... = lim B B k +1
...
→8
k=1
α = limBB = 2√6より
→8
2{}
kk+1
= lim
→8
1.
-
2
3
=2√6{1-0}=2√6 答
2√6
1-
3
3
lim(B,B„-α)β" lim
=
-2√√6 B"
8
x+11
1
= lim
→8
2
3
{2}
= lim - 2√6.
11-00
32
2√6.2(2)
{2
23
n
= lim - 3√6-(B)"}
{-36.18}
→8
B"
数合わせ
(*)
ここが1“となればよさげ
2
(*)が0以外に収束するためには、12/31=1で
-β =1であればよいので
=
3
2
- 3√6答
このとき, 極限値は
-