ページ3:

問題
1
(1) toとする。 <炊くを示せ。
-
t
2t Cos x
(2) lim
dx=0を示せ。
(リ
tot x
sin 2/2 sin / とおく。次の等式を示せ。
(3) f(x) = sin
lim
2
1
jtf(x)dx=/li
t700 1
2 COS
2 1 x
dx
x>0 とおく。 値域から-1≦sinx≦1
1
sing
1
12tdx
2t sing
12tdge
dxく
ここで、
2tdge
2t
1tx2
t
1 1
2t t
1
2t
===/2/
以上から、
1
2t sing
1
>
dxく
-
2t
22
2t
(2)
部分積分を行うと,
t
>
2t sing
dxく
x2
t
☐
t x
2t
・2t
・2t
dx
| 2t Cos * dx = [ Sinx ] * + ] 2ª sinz dx = ( sint _ sint ) + 12t sin z dr
x
2t
はさみうちの原理から、
1
1
<
2t
2t
2t1 t
- sint - sint & Dis
から lim
sin2t
sint
8+4
2t
-= 0,
lim
= 0
t+∞
t
ztsing
(1) A15) lime ( 2+ sin x x dx =
8+7
0
以上から、limlico
2t Cos
dx = 0
x
☐

ページ4:

(3)
左辺の中の積分値を I(t) とおく。 積和公式から
=
f(x) = -12(cos2x - cosx)
ここで、y=2xと置換すると、
tcos2x
x
・2tcosyl
dx=
24/226
· = 12+ cosy dy
2t
から、I(t)は
I(t)=
tcosx
1
2/1 x
1st Cos2x
1 it cosx
12tcosy
dx
dx=
dx-
dy
2
1
x
2
1 x
2
y
定積分は積分変数に依存しないので、右図から
I(t)
+
12tcosx
t x
112cosx
dx = =
dx
21
(2)からも→∞の極限を考えると、
_lim I(t)
t +∞0
=
1 ・2cosx
2
1
x
dx
☐
☆積分の評価
Ⅰ 既存の評価式を各項積分する
例)-1≦sine≦1, a-l<[a]sa
II
積分した結果を評価
亘
短冊状に切って面積で評価
Σ f(k) < fr˜ f(x) dz
k=1
0
ん
t
2
2t

ページ5:

問題
nENでn≧2とする。
(1)次の不等式を示せ。
nlogn-n+1< logk < (n+1) logn - n+1
k=1
(2) 極限値 lim (n!)/nlogn を求めよ。
n→∞
(1)
K≧1について図より、
rk+1
logks /klog des log (k+1)
n-1
k=1
k
logk=logxdx = 10g(k+1)= 2logk
今、log1=0なので
n-1
k=1
,log™ dz = 2logk+log1 = 2logk
k=2
=logk-①
k=2
k=1
左側の不等式に+lognして
n-1
/logxdx+logn≧logk+logn = 2logk ②
ここで、
k=1
"logidx= [xlog-x]=nlogn-n
①、②から
k=1
nlogn-n+1<Σlogk < (n+1) logn-n+1
k=1
☐
x
→
n-1 h

ページ6:

(2)
Σlogk = log(1×2x.xn)= log(n!)
k=1
nlogn
1
(1)の辺々に×
して
<log(n) Inlogn cit
1
ん
< 1+--
1
logn nlogn
1-1ogn+nlogn
n→∞の極限をとると、
1
+
1
logn nlogn
1
1
1
->
+
+
→1
ん
logn/nlogn
はさみうちの原理から、
lim log (n!) Unlogn
n→∞
以上から、
lim (n!) 1/nlogn
n→∞
=e
=1
☆積分の面積評価
n
nt1
H
H
積分ベース
n+1
f(n+1) <fit f(g) dscf(n)
和ベース
n+1
n
√nt f(x) dx < f(n) < [m, f(x) dx
n-1

ページ7:

問題
双曲線y=1/2の第1象限にある部分と、原点〇中心の円の第1象限
にある部分をC,C2とする。C,,C2は異なる2点A,Bで交わり、点A
であるとする。
におけるCの接線と線分OAのなす角は
6
このとき、Ci,C2で囲まれた図形の面積を求めよ。
図のように、円とり軸正の部分との交点を T
lとx軸との交点をSとする。
A の座標 (1.t) とおく。 (t1)
接線の傾きsは
6
A
S=
=(文)=一定
x=1/t
また,Aの座標から
tanLAOS=+2
0
lと軸のなす角はLAOS+ (三角形の外角)なので、
s = tan (LAos+)
よって、
√3+2+1
√3-t²
||
b
+2+
1
√3
J3t2+1
=
=
1
t2.
√3-+2
√3+2+1=-t² (√√3-±²)
t4-23t-1=0 t2=2+13 (t2> 0)
B
x

ページ8:

こで、加法定理から
5
tan π = tan
12
(+)=
1+
√3
= 2+√ √3
√3
よって、 LAOS = 5π
1
12
1
・1
13
A,Bは直線y=xについて対称なので
π 5
2
< BOS = LAOT = -12=17212
ZAOBLAOS - LBOS =
3
円の半径r とおく。
1
-
r² = OA² = 1+ 12+ +² = 2+1 √3 +2+√3 = ( 2 − √3) + ( 2+ √3 ) = 4
r=OA=OB=2
扇形O-AB, 直線AB (y=-x+(t+1))とy=1/2で囲まれた部分の
面積をSi,S2とする。
・兀
3
S₁rLAOB = ½ ½π, AAOB = ½½ r² sin = √3
2
3
=}} dx
-
5₁ = {};₂ [{−x+(x+\)}− = ] ax
x2
= [ − 2²±² + (t + ½ ) x − log x ] 1\/t
1
1
-
1
1
¯ ¯ ±±² (t²¯ ½) + (++ ½) (+ - ½ ) - logt + log
2
t
=/1/2(t-1)-210gt =1/2(t-1)- 10gt2
= √3-log(2+√3)
求めるべき面積Sとする。
S = S₁ - AOAB + S₂ = π-log (2+ √³)
=—=—=

ページ9:

問題
空間において、連立不等式
0≦x≦1,0≦y≦1,0≦x≦1,x+y+z²-2xy-1≧o
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。
z=kにおける断面を考える。
x2+y^2+k^2-2xy-1≧0
(x-y)2≧1-k2
lx-y|≧Ji-kz
y≧x+√i-k2
1-
ysx-vi-k2
図示すると右図になる。
z=kにおける断面積 S(k)は
S(k) = ± ±(1- √1-k²)³× 2 = 2+k²-2√1−k²
2
よって、求める体積Vは
V=10s(k) ak=10(2-k2) ak-21oJi-kzak
1
√1-k²
y
loJi-k2dkは半径1の円の第一象限部分の面積に等しいので
v=[2k-1]-2x
=
5
3
2
π
4

ページ10:

問題
HO,R>O。空間内で、原点と点P(R,O,H)を結んだ線分をz軸
まわりに回転させた容器に水を満たす。時刻までに排出した水の
総量 V(t)として、
dv
=
Jh(h:水面までの高さ)が成立するように原点から
dt
排水する。全て排水するまでに要する時間を求めよ。
んを変数とした排水の総量v(h)は,tにおける水面の半径rとして、
H:R=hir
v(n)=1/3 RH-1/3mrzh
dv
ah
= -
1
R
π
3
んはtに依存するので、
dv
=
Jh
1 dvdh
dt
-
1
dhdt
R
| +1 d dh = − π ( 1 )³² ) n√h dh = − — π (1)² h²√h + 1
2
R
--
+C
dv
vhdh
両辺で積分すると、定数Cとして
1 dv
I have dh=/dt ==+(1)²h²√h + C = t
一部(n+c=t
dh
H
t=0でん=HなのでC=1/TR2JFとなる。
t=/TR2{JF-(}
5
求める時間Tはん=0なのでT=号/TR2JH