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数学Ⅰ (基礎~標準編) 解答例 & プチ解説
1 単項式の乗法
(1) x³× (x4)²
=
(2) (3xy 2)4
=
43
8
× x = x
X
11
34 ×x4 × y8 = 81x4y8
ななめはかけ算
横はたし算
2 式の展開
(1) (x-8y)(x-3y) = x² - (8y+3y)x+8y×3y A4
(2) (a+b+3)²
a+bをひとまとまり
と考える
= x²-11xy+24y²
= (a+b)²+6(a+b)+32
= a²+2ab+b²+6a+6b+9
(3)(a+b)(a-b) (a2+b2) 前2つをまずは展開
= (a² − b²)(a² +b²)
-
= a -b⭑

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3 因数分解
(1) x²+x-12
(2) 49a² - 1006²
2
(3) 3x² +4x+1
= (x-3)(x+4)
=
= (7a-10b) (7a+10b)
=(3x+1)(x+1)
(4) 5x²+14xy-3y² = (5x − y)(x+3y)
31
->
1
11
→ 3
4
5-y
-y
1 3y 15y
14y
(5) 3a+4b+ab+b² +3
最低次数の
=
aについて
(b+3)a+(b²+4b+3)
降べきの順に整理 = (b+3)a + (b+3)(b+1)
=
(b+3)(a+b+1)
(6) x²+5xy+6y² – x−5y-6
-
= x² + (5y − 1)x + (6y² −5y−6)
定数項を因数分解
= x² +(5y−1)x+(2y − 3) (3y+2)
全体を因数分解
-
= {x+(2y − 3)}{x+(3y+2)}
= (x+2y-3)(x+3y+2)

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4 絶対値
(1) |2–6|=|−4|
(2) | √3 −2 | = − (√√3 − 2)
-
-
=-(-4)
2より小さい
=2-√3
= 4
5 根号を含む式の計算
(1) 3√5-4√20+√45 = 3√5-8√5+3√5 = − 2√5
(2) (√√5-√10) 2
= (√5)² - 2. √5·√10+ (√√10)²
=15-10√2
6 分母の有理化
2√5
2√5 √5× √2
√10
(1)
=
8
(2)
=
2√2 √√2 × √2
8 × (√√√√3)
☑
√7+√3¯¯¯¯(√7+√√3)×(√7−√√3)¯¯(√7)² - (√3)²
2
8(√7-√3)
=2√√7-2√3

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7 式の値
1
2-√3
x =
=2.
-
2+√√3 (2+√√3)(2√3)
1
2+√3
=2+ √3
2-√3 (2√3)(2+√√3)
(1) x+y
= (2−√3) + (2 + √3) = 4
(2) xy
準備
= (2√3) (2+√3) = 2² - (√3)² = 1
(3) x² + y² = (x + y)² - 2xy = 4² −2·1 = 14
8 二重根号
対称式変形
(1) √√8+2√15 = √ √(√5+ √√3)² = | √5+ √√3 | = √5 + √√3
(2) √5-√24 = √5-2√6 = √(√3 – √2)²
= √√3-√√2=√3-√√2

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9
次の不等式を解け。
(1) 6x+8<11x −7
6x-11x < -7–8
-5x <-15
x > 3
(3) 3(x+2)>x-3
3x+6x-3
2x > -9
x >
|
9-2
(2) 2-3x ≥ 4x+23
-3x-4x≥ 23 – 2
-7x21
不等号の
x ≤ -3
向きに注意
(4) -- +1 ≤ x −1
3
x+3≤3x-3
-2x ≤-6
x≥3
方程式と
同じように

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10 連立不等式
4x-3 > 2x+5
(2)
(1)
[x+2<8
4
①
4x -3 > 2x + 5 を解くと x > 4
x +2 <8
を解くと x<6
6
(1
②
①と②をともに満たす範囲が解だから4<x<6
3x+7≧x-3
①
(2)
x+3<3x
(2
-5
3
2
3x +7≧x -3
を解くとx≧-5
. . . .
③
3
x +3 <3x
を解くと x >
④
2
③と④をともに満たす範囲は解だから x >
3|2
........

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11 1次不等式の利用
8%の食塩水と 16%の食塩水を混ぜて800g の食塩水を作り,
濃度を10%以下にしたい。
8%の食塩水を何g以上にすればよいか。
【解】8%の食塩水をxg混ぜるとすると, 16% の食塩水は
(800-x)g 混ぜることになる。
ここで, それぞれの食塩水に含まれる食塩の量は
8% →> 0.08x
g
①
o 16%
←
0.16(800-x)g
②
o 10%
←
0.1×800
g
....③
濃度の問題は
①+②≦③ となればよいので
溶質に着目する
0.08x + 0.16(800-x) ≦ 0.1×800
8x+16(800-x)≦ 8000
-8x≦-48000
X
600
よって, 8% の食塩水を600g以上にすればよい。

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12 絶対値つきの方程式・不等式
(1)|x+3|=7
x + 3 = ±7
x=±7-3
x=4, -10
絶対値の中が
0以上と負で
(2)|x+1| = 3x-5
ア x+1≧0(x≧-1)のとき
x+1=3x-5
∴x=3 (条件を満たす)
イ x +1 <0(x-1)のとき
-(x+1)=3x-5
∴x=1(条件を満たさない)
場合分け
(3)|x-2|≧3
★
→x-2≦-3,3≦x-2
アイよりx = = 3
(4)|2x-4|<x+7
→ -(x +7) < 2x -4 < +(x +7)
J-x-7 <2x-4
2x-4 < x + 7
∴ x ≦ -1, 5≦x
fx>1
→ 1 < x < 11
lx<11
絶対値つきの不等式はどっちのパターンも場合分けの必要なし

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13 不等式と整数解
不等式 4x + 3a≦2x-4 を満たす自然数xが
ちょうど3個存在するような定数αの値の範囲を求めよ。
3
【解】 不等式を解くとx≦-a-2
2
自然数x がちょうど3個
x= 1, 2, 3 となればよい。
3
◯1
0 1 2 3
3-2
a-2
3≦-la-2<4
2
∴ 6 ≦-3a-4<8
4は含んじゃだめ
∴.10 ≦-3a <12
10
..
≧a>-4
3