ページ3:

ch3 指數
①aman = am+n
(am)" = axh
a*b" = (ab)"
又有理數歷數指數律
4.
[定義]正整數指數
at R.ne正整數
●指數(次方)
= axax xa
@整數指數
chy
(合指數運算的法则
h13
(a的n次方)
a+0.n為正整數
a"
an
ex:5x5x5 =125 = 53
an
a"
a"
a"
a²
a'
I'
P57 有理數指數
[定義]正n次方根
設Q是正實數,是正整數.nz2.稱滿足方程式X^=a的唯一正
根為a的n次方根,記為Q(n次根號a)
ex:烟 x2 有兩個根
X3=2
35牛粒
X=砭(唯-正根)
x=-√2
(唯-正根)
指數運算法則
回正整數的指數律
設a.b∈R.m.n∈正整數
第1條axa" = am*(底數相同,次方相加)
ex: 23 x 27 : (2x2x2)(2x2x2x2x2x2x2): 210
第2條(am)” = amen (内外次方,次方相乘)
ex: (2) 2x2 =(3x2x2) (2x2x2)=26
•
第3條Q*xb" = (ab)*(同次方相乘,底數相乘,提出次方)
ex:2*x3 = (zx242)(3×3×3)=(2x3)3=63
M-n
第4條, = a
a'
(同底相除,次方相減
[定義]負整數指數
[定義]0指數
對於一般無運敬r.利用逼近法的定義
a的值設為無理數,若存在有理數列
3
Y.. P2.....rn r則有a, a, as arm=ar
√3 .1.732
ex:2
2 =2
21.7=
10/2
23.24901
21.732~3.32188
愈大
21.73~3.31727
[突着]有理數的指數
RATAR R
m
DJ
a
=
Ja
a(分母在外,分子在內)
若a≠o.n=正整數
若Q≠0,則0°=1
Maá
=
an
ex:2°= 1,T°= 10°沒有定義
.

ページ4:

ch4 科學記號
科學記號表示法&其運算
定義:每一個正實數a都可
jo
表示成a=bxion(I≤bs
& 常用對數
.n是整數
常用對數
◎有效數字(概數)
用科學記號來記錄一個很大或很小的正
數時,不會寫出所有的數值,而是記錄前幾數字
<key>光速 299792458m/s 取四位有效數字
=2.997/9 2458x108
四捨五入
◎常用對數
= 2.998×108
(6>0)
[定義]每個正數b均可表為10的某次方即b=100=100gb
則logb稱為b的常用對數
例:10²=100
10 = 110
10°=1
10' = 10 < 100 = 2
10-2
=
(60
<補充>常用對數之運算
.
① loga+logb= logaxb
loga - log b = log 1
③ loga² = Kloga
<補充>常用對數及首數,尾數
loga: n + logb nos logb</
尾數
ex: log2000 = 10g2x103
=
-10g2+3=0.3010+3 首數+1=位數
(10g2+10g103)
<key> 2 = 101092
0.3010
= 10
3 = 10093 : 10
0.4771
(10g 2是無理數)
補充:
真數
a² = b = loga b = x
底數
補充:
x | 2 3 4 5
6
1
8
9 10
logo 10.30100 0.4771 0.6020 0.6990 0.7781 0.84510.9030 0.9542 1

ページ5:

ch5.直線方程式 1.直線的斜率 2.求直線方程式 3. 直線的平移
4. 兩線平行x 垂直 5. 點到直線距離
Q:如何描述一條直線方向?
【終點
[定義]斜率是直線中一個重要的
起點 4g坐標變動 參數,是指一條直線傾斜的
比率,是一個比值用來衡量直
安全標變動
△X
斜率=
[定義]水截距:圖形與x軸交點的X坐標
(3.0)
(-2,0)
x截距:-2
[定義】截距:圖形與y軸交點的坐標
線的傾斜程度
ex:
☆直線的斜率公式
B(X3,42)
【終點
+2
終點
起點13
A(x,y)
--x1x2
1X2-X11
TY₂-Y₁
T
斜率号
斜率= =-1
斜率
垂直位移
Ya-Y₁
=
水平位移
= m
X2-X1
[重點]鉛直線沒有定義斜率
<key>
Blα, Ya)
Alody)
x=α
Y-Y
m =
又1又
愈大
Q:通過一點的直線有幾條?無限多條
Q:斜率相同的直線有幾條?無限多條
Q:直線方程式⇒點斜式
˙P(x,y)
xo, yo)
只要P是異於A的動點,已知m
由斜率定義m=(y-yo)/(x-xo)
yoyo=m(x-xo)
ex:A(1.3)m=2
m
在直線上的點
都是此的方程式
y-3 =
9-3=2x-2
(x-1)
P(0.3)
(0.3) 截距:3
y截距:-2
(0,-2)
X12,02
二元一次方程式 一直線
ex:
L:zx-3y+6=0
x截距:-3(令 y = 0)
y截距:2(令x=0)
用於y截距
<補充>斜截式
(o.k)
(-3.0)
y-yo = m (x-xo)
y-k = m (x-0)
y = mx-k

ページ6:

chb 圓的方程式
1. 圓的標準式 2.圓的一般式 3.點與圓的關係
(M)
(r)
⑥圓的定義圓心 半徑
◎阿波羅尼斯圓(Apollonius)
平面上和一個定點等距離的
所有點所形成的圖形
◎圓的方程式(要有“圓心”“半徑”)
P點在圓上跑一定會滿足MP=r
Mich
P(x,y)
(圓的標準式)
MP = √ √(x-h)² + (y-1)*)² = r²
C:(x-h)2+(y-k
@圓的一般式
展 x²-zhx+h²+y-2ky+k+=r²+
已知平面上相異兩點.A.B則所有點
滿足丽:KPE(K20k+1)的P點的軌
跡是個圓,稱阿波羅尼期圓
<key>當k=1時,P點的軌跡是AB的中垂線
<key>二元二次方程式
x²+y²+dx+ey+f=0
M(一号,一号)r=/J²+e²-4f
判別式D=d²+e'-4f
①D:0
②D=0 點
③DLO 沒有圖形
利用點到圓心
的distance 與半徑比較
②點與圓的關係
配方
B
C:(x-b)²+(y-k)² = 12(圓的標準式)
d
e
f
X²+y² E2hxE2ky+h²+k²-1] = 0
C:X²+y²+dx+ey+f=0(圓的一般式)
M1-号,一号),v=d²+ e²- 4f
[x+dx+(*)*]+[y+ey+(星]=-f++
+
(x+产+(y+)*=d&ze?.4f
①>>點在圓外
②ōB=>點在圓上
A③c<P>點在圓內
<補充>
P₂
P₁
(1)若A點在圓外
最長則Max AP=ōntr
min AP Ar
(1)若B點在圓外
<P2
則Max AP=1+OB
P3
最短
·A
min APY-DB
<補充>三直線不能成△
①
三線共點
②
三至少兩線平行
(3 三線同一條

ページ7:

1. 代數判定
Ch1.圓與直線的關係
1. 圓與直線關係判定2.幾何判定
2. 圓的切線
☉圓與直線關係
有2個相交點(相割)
-割線
切點有一交點
圓的切線<key>與圓只有一個交點的直線視為圓的切線
回判斷方法
(相切)
「切線
-不相交(相離)(沒有交點)
(一)代數判定 兩圖形求交點鮭聯
•C:x²+y²+dx+ey+f=0-0
L:ax+by+ c = o-②
①D20⇒有兩相異實數解
代②入①ax²+bx+c=0
D = b²-4ac
②D=0⇒有一解(重根)
L③D<O 無實數
(一)過圓上一點⇒切線有一條
已知
MPIL⇒m相乘:-1
M
Plxo.yo)
(二)過圓外一點
(P(xo,yo)
利用點斜式求L
Ly-yo-mL (x-xo)
⇒切線有2條
設切線方程式
y-yo=ML(x-xo)
利用d=k求m
<key>當求出m值只有一個時,表示令
一條過定點(x,yo)的鉛直線
(x.xo)
(二)幾何判定⇒圓心到直線距離與半徑比較
<補充>圓之弦長
1. d2r>不相交(相離)
2. d=r(↔交於一點(相切)
3.der 交於相異兩點(相割)
1.39x
點擊以切換至 18
M(h.k)
AB = 2√√r³-d
L

ページ8:

②多項式的基本概念
回多項式的變形連續綜合除法技巧
[定義]將許多項式相加所
组成的數學式稱多項式
知數變數元
係數(通常是實數)
f(x)=5x2+x*-zx+④常數項=4
toodegfax1-3
△常數多項式
f(x)=3⇒零次多項式 f(x) = Q0 (ao≠0)
g(x)=0 = 0xx"
ex: f(x) = 2x²-x+1=a[(x-1)+ bx-1)+c
g(x) 餘式 f(x)=(x-1)
X-[b]=2(x-1)+3(x-1)+2
<key>非多項式函數
2.900x
3.-(-x+
:
@綜合除法 除式為一次
ex:以x-2除2x²+3x-1⇒令除式為0
②x+4% +11
x-212x3+0x²+3x-1
2x-4x²
4x2+3x
(-)4x2-8x
11x-1
-11-22
21
x-a = a x +α=> a
2
0
3 -T
2
4 8
22
2
4
|2|
∵∴商式=2x²+4x+11
餘式= 21
②餘式定理 用於除或為一次式
多項式除以一次式 QK-b
函數值
時,多項式的值記為fil
= 5 + 1 - 2 + 4 = 8#
鲜式(音)
f(x)=(x-2)Q(x)+r
。
412)=(2-2)2181+8
=(x-1)(2x+1)(X²+x+1)
補充:f(x)=2x²-x2-2x+1=(x-1)(2x)+x²+x-1)
2 -I 0 -2
2 | 1 -|
4.絕對值:k(x)=1x
= 0xx'
沒有規定次數
★根據多项式的定義、窯不可
=
= 0xx' 稱為零多項式
在分母,厂.11.次方
<key>2x+4x-2=0(方程式)
當
2-10 (v)
ex: f(i) = 5x13 + 12-2x1+4
20x4802(多項式)
*x+2x-1
多項式相等,同次項係數
分發
回多項式的加乘法
設 f(x) 2
2g(x) 是兩多項式 g(x)=0
則恰有一組多項式Q(x)和r(x)滿足
f(x)=g(a).Q(x)+r(x)其中r(x)=0或
被除式= 除式,商式+餘式整除
deg r(x) < deg g(x)
次方相同
同類項合併、缺項補0
回多項式的乘法
係數相乘,次方相加
|-
2
|
21
I
-10
22 2
2 0
②因式定理(餘式定理的特例)
(1)若x-C是f(x)的因式,則f(c)=0
fx-C
<p.f>f(x)=(x-C).Q(x)+rx
f(c)=(c-c).Q(x)+0=0
回因式定理的推廣
20.6是相實數,且fox是多項式
若f(a)=f(b)=0,則(x=0)(x-b)是
tu

ページ9:

圖形:一直線
ch9. 函數 1. 一次函數:y=ax+b(a≠0)
回函數(funtion)
兩變數x.y在某種對應關係,當x為特定
值時,她對應於特定的值,此時「是入的函數」
記為
y = x
x
个
圖形:拋物線
2.二次函數:y=ax²+bx+c(ato)
<key>y=ax²(a≠0)
[a係數愈大
變越窄(開口小)
la係數愈小
變越胖(開口大)
伸長壓縮
<key> 伸縮
伸縮倍數看下面
ex: y = zx²改寫成告=x²
即以x軸為基準線,鉛直線伸長2倍
output 1 input.
輸出机輸入
應變數器x自變數
功能
<key>鉛直線判別法
與函數圖形只能有一個交點
◎坐標上的分點公式
<key>函數分類
①1對1函數: 1個入對應到1個y.
<補充>
y=3x
y=(x-2)2+3
不同的x.對應到的也不相同
係數不同,無法平移
在首變數X的範圍內每一條直線x=a
②多對1函數:1個入對應到1個y.
不同的X,可以對應到同個
@y=ax²+bx+c
配方
+y=alx-h)²+k
二次函數
PIX.Y)
7B
AP: PB = min
A
↓(x2,y2)則P點坐標
+
1
nx+mxz
:
x=
m+h
(X1,0) (x,0) (x2,0)'
ny+myz
y=.
m+n
比例相加
<key>交差相乘
回二次函數
設 a. b. c是實數y = f(x)=ax+bx+c(ato)
稱x的二次函數圖形→拋物線
<key>二次函數的基本型
y=ax+bx+c = a(x-h)²+kky=ax²
⇒頂點(h,k)
@y=ax²a圖形 描點
a20⇒開口向上
aco⇒開口向下
③1對多(不是函數)
④I對無(不是函數)
②線型函數 1. 常數函數2.一次函數
函數的圖型是1條直線
y=f(x)=@x+b
m
(斜率) 截距
@y=ax²+bx+c
=a(x²+x+a
= a(x-h) + k
豆
+C-4a
T-b²+4ac
40
20
h=-= k =
-b²+4ac
↓
#4
4a
頂點矬標 頂點y坐標
對稱軸x=-20
①9>0
當x=h時,min=k
②當a≠0時,y=ax+b稱為一次函數
圖形是一條直線
② a<0
當x=h時,max=k
①當a=0時,y=b稱為常數函數
圖形是一條水平線
<重點>1.頂點(0.0)
2. 開口向上的拋物線
3.軸是對稱軸
②二次函數圖形的分類
a>o
① D20
(開口响上) x
y=ax²+bx+c
D= 0
③D<o恆正
判別式D=6-4ac
x
x
aco
①D>0
(開口向下)
②D=0
x
A
x
③D<O恆負
x

ページ10:

ch10.三次函數的圖形特徵
y=ax³
缺二次項 → 超級基本型
三 y=ax²+ px(p≠0) 基本型
次
函
y=a(x-h)+p(x-h)+k
y=ax²+bx²+cx+d
數/ 廣域特徵
局部特徵
回函數的基偶性
(1)偶函數
如果函數滿足f(x)=f(x),f(x)稱為偶函數
充分且必要條件圖形關於y軸成對稱
ex:y=x² 4
(2)奇函數
如果函數滿足f(x)=-f(x),f(x)稱為奇函數
充分且必要條件圖形關於原點成對稱
ex:y=x²
(3)非奇非偶函數
②三次函數的基本型
f(x)=ax²+px(a≠0)稱為基本型,所有三次函數
皆可透過基本型平移得到
[定理]f(x)=ax+px的對稱中心是原點
f(-x)=-f(x) 是奇函數,描點時,只要描
X20的部分
②三次函數的基本型
* PFD fix = ax³ <aco
f(x) = ax² + px.
ptow a=D,p>o ex: y=x+x
12; a>o p<o ex: y = x²-x s
(3)aco/p>oex:y=-x²+x和
(4) aco, p<o ex: y = -x²-x
+
◎三次函數
設 a,b,c,d∈R
y = f(x)=ax²+bx²+cx+d(a≠0)
<key> f(x)=ax3
①圖形通過(0.0),以原點為對稱圖形
aco 右下降
② 020 右上升
艹
<key> ax'主導圖形整體趨勢
Px主導圖形在原點附近行為
<key>在原點附近一次項主導
離原點比較遠的地方
@y=a(x-h))+p(x-h)+k(標準型)
·對稱中心(hk)
⑥三次函數的配立方
y = ax² + bx² + cx + d(一般型)
= a(x-h)3+p(x-h)+k
右h 上K
y=ax+px
對稱中心在(h,k).進行多項式的變形
知道h:-20 再使用連續綜合除法
(a+b)) = a3+3a²b+3ab²+b3
(a+b)=a3-30²b+3ab²-63
<p.f>y=ax+bx²+cx+d
= a(x*+x)+cx+d
63
• a[x²+30x²x (盅)+3.(点)+(計]+cx+d-b0-200
=a(x++(c-蒜)x+d-2500
= a(x-h)3 + P(x-h)+k
②局部特徵(超近 distance 看圖形)
若三次多項式f(x)表示成(x-h)的多項式形式為
fxs=a(x-h)² + b(x-h)² + c(x-h)+d
則f(x)圖形在x-h附近的局部
特徵近似於直線y=c(x-h)+d
@廣域特徵(從很遠的地方看圖形)
2F
10F
<key> f(x)=ax²+bx+cx+dl
其廣域特徵函數是
101 F
當x$0時y=ax²+bx+cx+d
=ax²(++++++
當1x1很大時⇒文→口
口

ページ11:

ch 11. 多項式不等式
一、多項式函數的圖形
①連續不斷
②a>0 右上升
a<0 右下降(領導係數)
二、多項式不等式
21- 次不等式
(3)高次不等式
(2)二次不等式
⑥一次不等式 ax+b>o(a≠0)
(1)若a>0⇒ x
(2) a<o = x <- ă
号
⑥二次不等式
·(x-a)(x-B)=0
ax²+bx+c=O(a≠0)因式分解
①
十字交乘公式解
D = b²-4acx ==
(3)
D>O
(2)
(3)
D = 0
D<O
恆正
-bb-4ac
29
ex 有兩相異實根
→X 有兩相等實根
•x 無實數根
◎高次不等式⇒畫圖找範圍
當實數X使得f(x)>0.
②不等式的解 實數X稱f(x)的解
<h
f(x)>0⇒y坐標 20
正號
正號區
區十
負號區.
=>點在X軸上方(不含x軸)
(2) f(x)≤0⇒y坐標≤0
等號區
> 點在X軸下方(含x軸)
D = b2-4ac
X>X or X<B
f(x)>0⇒ 圖形X軸上方
D20 有兩相異實數解f(x)=0⇒圖形X軸下方(含x軸)
D = D 有兩相等實根
f(x)20⇒ X為所有實數,但x≠d
DKO 恆正
f(x)≤0⇒x = x
好奇穿偶不穿

ページ12:

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