ページ3:

Ch3. 計數原理
命題
邏輯&集合條件
加法原理
計數原理<乘法原理
◎邏輯
命題:凡能判斷其為正確。錯誤的語句
~P(非P)
否定命題
ex:2是整數: P.~P2不是整數
@命題的連結
<補充>
~(PAQ)為~P或~Q
(V) 1.5 23或321
且(and) 2個都正確才算對
~(P我Q)為~P且~Q
(V)2.523或3= 1
或(or):2個至少一個正確就可以
573(V)
(X)3.5=3或3=1
◎「若P則風」命題
前提 結論
成立 成立
523 正確命題或5=3(x)
(x)4.5233=1或
成立不成立 PYQ(錯誤)舉反例
◎充分條件&必要條件
ex: 风等腰梯形
當命題「若P,則Q」是正確時,稱是Q的充分條件,則Q是P的必要條件
P⇒ Q
◎集合(set)
母嬰 A→B,但B→A 充分條件
由一些可以明確指定的成員所組成的一個整體
◎充要條件
B→A,但A→B⇒必要條件
ex: {cat,dog, fish} 動物集合元素:集合中的每一成員
◎子集(subset)
文民圖
幼華高中B
A≤ B
包含於
◎邏輯的當摩根定律
P⇒Q(正確)
◎集合表示法
(1) 列舉法: 【把所有整數列出來了
ex:所有6的正因數組成的集合 {1.2.3.63
(2)描述法 {田的性質
{xx為6的正因數,xEN}
ex Es
元素集合 2E5
4KS
◎空集合{},必不包含任何元素的集合
◎集合的運算
聯集AUB
差集 A-B
宇集
universal
B-A AC
v
補集 A
有菜部份
AAB={XXEA XEB}
合併所有元素
AUB={x}x+Ax+B}
在A中不在B
A-B:{xlxtA&xeB}]
「討論問題的
範圍
(鮮百 @ 不在A裡面
<補充!>3:存在∀.所有 3!唯一存在
交集 A∩B @
P⇒Q
Q⇒P
A→B.且B A 充要條件
◎元素個數n(s)
<補充>12的正因數
1.2.3.4.6.12.
1x12 3x4 6x2
2x64x312x1
12 = 2 x 3'
(2°. 2', 2²)→ 3
(3.3') 2
.. 3×2=6
◎加法原理(分類)
發
有兩事件E.F他們不能同時發生
E發生的方法有m種,F發生的方法
有n種,則E或F發生的情況是mth種
%3
ex:
鐵!
ex:普1-2:{1.2....463 n(5)=46
@取捨原理(排客原理)
_n(AUB) = h (A)+h(B)-h(A∩B)
加太多扣掉
AOB
扣太多加回
ANB:Ø互斥
n(AUB)=n(A)+n(B)
◎笛摩根定律
(1) (AUB)=A'B'
鮮
(2)(A∩B)' = A' UB'
鐵2
◎乘法原理(分步驟)
E事件發生的方法有m種,對E的每
種發生方法.F的發生方法有n種,則
E和F連接發生的情況是 mxn種
◎三個集合的取捨原理
n (AUBUC)
=n(A)+n(B)+n(c)
-ALAAB)-h(BAC)
-ALCAA)+n(A∩B∩c)

ページ4:

Ch4. 排列
直線排列: 1.相異物排列 2.有相同物排列
3.重複排列
◎排列(Permutation)
<推廣>n個相異物排成一列方法數是n!
將東西排成一列要考慮順序
ex:a.b.c.de選三人排成一列
完全相異
ex:將a,b,c排成一列
3!= 3×2×1= 6
a b
a C
c
b
b a C
b c a
cab,cba
5x4x3x2x1 5!
=
2×1
=
(5-3)!
<推廣>n個相異物選k個排成一列
<key>階層n!
所有小於or等於該數的正整數
的積
h!=nx (n-1)*(n-2)x...xzx|
規定 0 != 1 1 != |
2!=2x1=2
4!=4x3x2x1=24
n!
=
Pk-in-k)!
相異物
回有相同物的排列⇒先看成相同物
' 2
3
4
o
X
5!
x
x
=5x4x3!
x
°
O x 0×
2!3! 2.xx31
= 10
3!=3x2x1=6
5!=5x4x3x2x1:120
x Oxx
6! : 6x5x4x3x2x1=720
7!:7x6x5x4x3x2x1=5040
x 民
ㄨˇ ㄨˋ ㄨ
ex:OOxxx 排成一列有10種情況
②重複排列 可重複選
ex:A.B.C選兩個排成一列
<key>
排列
不重複
AA AB AC
AA AB AC
BA BB BC
BA BB BC
CA CB CO
CA CB CC
P³/
= 6
3x2
3×3
=32
=9

ページ5:

複習
①地位不同
• ①地位相同
排列 ②要考慮順序
组合 四不考慮顺序
@對調會產生影響
①對調不會產生影響
ex:從甲、乙、丙、丁、戊队中選人當值日生
☆排列& 組合的連結
(1)Osken,Chk=ch-x(取出=留下)
exic-c
a.b.c.d
桃一個挑3個不要
(2)/≤ksn-1 ck=C++C(巴斯卡定理)
上進!(上面相同,下面差1)
下取大
<補充>巴斯卡三角形
1
121~
(x+4)²
1 3 3 1 → (x+y)*
1 4 6 4 1 → (x+y) 4
15
10 10 5 1→ (x+4) s
甲乙丙丁
戊
。 X
x
x
n以選k人排成一列
PR=Ckxk!⇒Ck=
OXO x
x
OOXXX
OX X
x
5!
x
x ✗
°
2!3!
:
C商當值日生
n!
(n-k)!
n!
k!
k!(n-k)!
。 ° x
x
XOX
x
XOX ㄨ
不用當值日生
<key> C₁₁₂ =C²
ex: ccc
=
xx 。
x
7! X5
7x3
8!
XX ° x
本有相同物排列
xx x
c = ch = 1
3!4! x5
215! x
3!5!
© = 1 L (Day)" câx^+ cixth g++ C^***y* +--+c"g"
ex:(x+y)=(x+y)(x+y)(x+y)=(2x+xy+x+y)(x+y)
:
xxx + xxy + xyxxyyyxx+yxyyyx+yy
=
:
= x²+3x²y+3xy²+ y3
3!
·x³ + 3x²y
choy>一列有日個方選,每個塗成白色+黑色有種塗法
2x2x2
=2"

ページ6:

Ch. 6.
2.事件3.定義
回古典機率的定義
研究隨機現象發生規律性的科學
基本假設相同的可能性
probability p
sample space)
n(A)
n(s)
一項試驗中所有可能發生的結果所成的复合
樣本點
ex: S=2.3.4.5.67
回事件:樣本空間的部份集集
③事件的運算。
(2)
(3)
3 感興趣的事有變種
P(A)= 全部有幾種
<key> 計算機率時,要將每一個物體視為相異
(每個樣本點的來源要相同)
②機率的性質
小機率值的範圍 D≤PDAJE
˙P(B)=0 絕不可能發生的事件
P(s)= 必然會發生的事件
(2)取捨原理
P(AUB)=P(A)+ P(B)-P(A∩B)
(3) P(A)=1-P(A)餘事件
(4) P(AVBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(BC)-P(Anc)+P(A∩B∩Cc)
ANBIH $17)
AVB(和事件)
A(餘事件)
⇒ANB:8
交集(且)
聯集(或)
五日事件

ページ7:

ch7 數學期望值
◎期望值:若一試驗所有可能出
現的值為 mm.....mn且其對應
事件|A1/A21.
...
An
mmz.....
可能值
Mn
的機率分別為P, P2,...,Pn
機率 P. P21
...
Pn
☆F=m,Pi, M2P2.
mnPn (期望值:金錢*機率)
<key>取n個(球,③. 日)的期望值
=(取1個期望值)xn
任兩事件交集是空集合
<key>
⇒互斥(A∩B) = Ø
ex: ⑤投擲一枚硬幣
(大數法則)
所有事件的聯集樣本空間
出現正面得10元,出現反面得5元,若重複投擲很多次
所得金額的平均值為7.5 E = 10x / +5x2 = 7.5
<key>公平的賭局
值|$101$5
機率
總金額
長期平均 =
總次數
玩家期望值 = 0
莊家期望值 = 0

ページ8:

,集中量數
-維數據分析、分散量數
-維數據分析
ch8 一組數據分析
)統計:對收集到的數據進行分析&推論
一維數據分析:只有一個變量的數據
@LER.
上環數(Ma):一組數憶中出現藏多次的數
2.中位數(Me):一組數據中最中間的數
由小到大排列
3.算數平均數: M=2x+se
4.加權平均數: W=ZXuMio Kuh***ake 權數總和
5. 幾何平均數:(Geomertic Mean)
GM=xxz... 非負實數
6. 百分位數:等級。
1. 四分位數
Pi Pa Pm 197 198 P99.
Pas MenPro P75
Q:QQ3.
回幾何平均數公式的區別
1. 平均倍率:
160cm₤
2個月長高了16倍,平均一個月長高了4倍
160cm× 2 x 8 = 160 x ke
2.平均成長率:測 (19) (1+ra)...(1+ra)-|
(1+r) = (1+r) (1+rs) ... (1+r)
chy)所受極端值的影響
◎離散量數:用來衡量數據分散程度的統計量
①離差總和=0
(xi-H) + (X2-M)+...+ (Xn-H)
②加絕對值再除以几
|X.-M| + |XH|+-+|X-M
n
③絕對值麻煩,改成平方
K-M)+(-)+(X-Rª
n
④開根號調整
=0
(₁-M) + (X-M)+(-7)
n
chry>願望舖就是以機率為種數進行加權平均的概念 @種華公式 2
Ex 5. 步驟:①由小排到大
②全體資料的百分比
(小數一看變動)
標準差公式
(離均善平方和)
°)
= [變異數= 平方的平均-平均的平方
nσ = (x-M)+(xx-M)*+....(Xn-M)³
= (Xi*+ Xz* + + Kn㎡)-2u(x+Zst...+n) + nu²
= (x*+X2+…+ Kn²) −2u(nu) + nih
=
n
¸(X₁-M) + (x−µ) + ··· + (An - M)
回數據的伸縮.平移
Q:平均數有何變化?
(1)每人加10分(平移)
XXX
n
X+X+a+lon
n
=μ+10
(2)每人分數乘1.5倍(伸縮)
XXI.S
++
n
X-5
=1.5μ
02 變數為何變化?
1)每人加10分
+10
+10
(x₁-M) (X-N)² + (Xn-M)²
n
(2)每人分數乘以1.5倍,
18-A)² + (x₁-A)+(XA-M)² = 1.5²²
n
回數據標準化(特殊的伸縮&平移)
X-M
Yi-x
伸縮 平移
(1)標準化的數據無單位
(2)標準化數據平均數=0,標準差=1

ページ9:

ch9.二維數據分析
本單元利廟
觀察兩群數據
之間是否存在線性關係由相關係數
來度量相關程度高低在
直
線索預測未來可能的結果。
正相關
-X
Y.
Y.
x
Y.
x
X
x
(對稱)
(水平線)
(鉛直線)
◎相關係數十≤组
#手的是變異數
r = (x的標準差)(y的標準差)
Sxy
Sxx syy
Ⅲ
I
X₁-MX (X1,Y.)
→零相關
<key> 散布圖各點若在一條直線上
m>0⇒r = [
<key> +0 x 18. (X)
xy的線性關係很薄弱
@相關係數的性質
1. |≤≤1
2. (1) Y>D⇒正相關
(2)P=0⇒零相關
(3)P<0⇒負相關
(4) = 1 ⇒ 完全正相關
公式(一)
y-My
04
公式(三)
X-MX
Y
0x
y-My · Øy⋅r
斜率
=r.
m
0x
Sxy(AB)
Sxx(A²)
補充:m=.
X2-X1
ys-y
m=roy (oy > 0, U'x>0)
0x
x-Mx 當Ox=Uy, m=Y
σx
·(x-Mx)點斜式
@最小平方法.直線
最佳直線(回歸直線)
殘差
(X1,Y₁)
y=ax+b
di = yi - (ax+b)
ds = y: - (ax2+b)
(x₁, ay, +b) (xz, Ye)
dn = yn-(axn+b)
di²+ dz²+...+ dn2
(KY)
IV
(X₁-MX) (Y₁- My)... (Xn-xx) (yn-My)
☆零相關钅相關係數p
拔適當的ab便
殘差平方和最小(最小平方法)

ページ10:

Ch10. 直角三角形的三角比
◎銳角三角比0~0~90° 定義:
斜邊
b
鄰邊
對
sine = :
a
斜
La對邊
(正弦)
cos e =
鄰上
:
斜
C
(餘弦)
tan 0 =
a
=
b
(正切)
此
∠A為基準角
◎特別的三角比
24 7 30°, 60°, 90° 57' 745°, 45°.90°
補充:x²+ y* =1
(-1, 0)
(0.1)
e(rcosersine)
P(cose, sino)
(0,-1)
(1,0)
cose
(投影變化)
sine
◎三角形的基本關係式(日必須同一角度)
sine
1. 商數關係 tane = COSO
☆2. 平方關係 sin² e + cos* e = 1
sin (90°- 0) = cose
3.餘角關係 cos (90°-日)=sine
e
4:90-日正餘互換
7-90-0
補充:tan75=2+13
600
(高度變化)
◎測量的術語
OK
仰角
俯角
水平線
鉛垂線

ページ11:

Ch11. 廣義角三角比與極座標
A
邊)、
生用日=1200
回同界角
A(始邊)
負
TB=-240°
正角:逆時針轉
有向角
項目順時針轉
有相同的始終是
0, - 8 2 = 360° x n(n∈Z)
@標準位置角(角度的雪服)
K
回各象限三角比的正负
I
第一象限角
第二象限角 第三象限角
第四象限角
11.
(-.+)
Sin
(-.-)
tan
#
(+,+)
全
IV
(+.-)
cos
I
((商)圈數 (餘數)
補充:日: 3600.
回廣義角三角比
Sine=
11 tane ==
+P(x,y) 對
=
斜
+x
x
唔
r: Jx²+y² 20
COSA=
鄰x
斜
<key> 1.看角度/坐標在第幾象限
2. x 6 FARRY
3.(x,y)加正、負
對
生
=
x
@負角公式(一日換算
sin (-9) = -sin
cos (-) cos
tan (-9) = - tane
@三角比預算公式
1. 同界角公式
sin (360°xn+日) = Sin
cos (360°*n+日) = Cose
tan (360°xn+e)=tand
chey 1810
#90°±0 正餘互換
2.(180° -0)
Sin (180°-日) = Sine
cos (180°-日) : - Cose
tan (180°-日):-tane
<key> sing I (含增)角度愈大,值越大
@極坐標(距離,方位)
P[re]
3.180° + 6
sin ( (80" + e) = - Sine
(極點)
˙半程度
(極軸)
Chay)1.極坐標的表達方式没有唯一性
2.除極點外,極生標水直角坐標
是一對一的關係
[r.0]
回極坐標. →直角坐標(畫圖)
Qtr.]
PL.0]
COS (180°+9)= cose
tan (180°+日) = tan
根與係數關係
<#> ax + bx+6=D.α. Aith

ページ12:

Ch12 三角比的性質
1. 三角形面積公式 SAS
兩邊相乘xsin夾角 △ABC =
立x底×高
2
=xCx sin A
2
b
C (bcos A. bcos A)
a
h=bsinA
a
A
c
B
A
B
C
A
B
回正弦定理
a
=
sinA
C
•sin B = sin c = 2R
C
b
a
b'
A
=
sinA==h=bsin A
·B sin B = h = h = a sin B
a
bsinA asinBsin A
SSS, SAS
b
=
sin B
Sin A sinB sinc=abc
⑥餘弦定理(畢氏定理推廣)
C (bcosa, bsinA)
a
HC B
c-bcosA
cos A =
CH-b-sin A
sin C =
受
C
sin C
R
◎海龍公式(Heron's Formula)
S = a+b+c
a
b
C
b+c²-a
2bc
.夾角平方和一對邊平方
2 倍夾邊乘積
=
=2R
C
2R
a= (c-bosA)+(bsinA)²
tano
= C-2bc cos A+ b² cos' A+ b²sin'A
= b²+c²-2bccos A
m =
(周長之一半)
P(cose, sine)
2
oed
OP
CA = √s(s-a) (s-b)(S-C)
m=tang (tane +90°)
sin
y-y
X2-X1
Cose
= tan
=
=
sing-o
1050-0
B
=
AABC bc sin A
sin' + cos 0= |
=
bc √1-cos³A
sin A = √1-cos³A
COSA=
b²+c²-a²
=
2bc
2bc
斜率
截距
↑
<補充>L:y=x+k(斜截式)

ページ13:

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