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数学Ⅱ, 数学 B, 数学C
第4問 (選択問題) 自学(日)
(1)数列{a}は,初項 αが3で
an+1=an+2"
を満たすとする。
このとき
a2= ア
,
a3 =
である。
また,2以上のすべての自然数nについて
an= ウ
が成り立つことより
n
an
=
エ
+ オ
(n=2, 3, 4, …)
である。この式は n=1のときにも成り立つ。
ウ の解答群
n-1
n
n-1
n
⑩ 2+X3
① 2 +
23+ Σ2
3+2
k=1
k=1
k=1
k=1
(数学Ⅱ, 数学 B 数学 C第4問は次ページに続く。)

ページ4:

(2)数列{b,}は,初項6が
nbm
+1
(n=1, 2, 3, ...)
b+1
=
n+1 2(n+1)
を満たすとする。 このとき, 数列{b,}の一般項を求めよう。
太郎さんと花子さんはこの求め方について話している。
太郎:①をどのように変形すればいいかな。
花子: x, = nb,とおいて, 数列{x,}が満たす漸化式になる
ようにしよう。
太郎: それなら①の両辺に n+1を掛けるといいね。
花子: そうすれば(n+1)67+1はXn+1 と表せるね。
x=nb, (n=1, 2, 3, ...) とおくと,①は
xn+1
カ
ク
=
.x +
キ
ケ
となる。これを変形すると
xn+1
カ
コ
=
キ
コ
サ
カ
となり,数列{x
コ
-
|}は初項
公比
の
シ
キ
等比数列とわかる。よって, 数列{x„}の一般項は
n
ス
xn
=
+ ソ
セ
である。したがって, 数列{b,}の一般項は
bn
n
1
ス
==
+ ソ
n
セ
である。
(数学Ⅱ, 数学 B, 数学C第4問は次ページに続く。)

ページ5:

(3)(1),(2)の数列{a}, {b,}に対して, Cn
a.
==
-(n=1, 2, 3, ...)
bn
とおき, 数列{c,}の初項から第n項までの和を S, とする。 S„を
求めよう。
数列{c} の一般項は
n
n
c.=n• タ
n
である。
太郎: S, はどうやって求めればいいかな。
花子: 公比が1でない等比数列の和の公式を導くときと同じ
ようにやれば求まるよ。
太郎: 今回はS- タ |S” を計算すれば求まるね。
Sn
=
=(n-
チ
.
タ
[n+ツ
+ テ
である。