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高3Ⅱ型
【II型共通 必須問題】 (配点 50点) 自学
(1) α = 2+√3 とする.
(i) - の値を求めよ.(分母は有理化せよ.)
a
q
(ii)
p, q は有理数とする. p, q が等式pa+
=1を
a
満たすとき, p, q の値を求めよ. ただし, √3 が無理数
であることは用いてよい.
(2)KAWAIJUKU の9文字から4文字を選んで一列に並べて
できる文字列を考える.
(i) ちょうど4種類の文字を含む文字列は何通りあるか.
(ii) ちょうど2種類の文字を含む文字列は何通りかるか.
(iii) 文字列は全部で何通りあるか.
(3)(i)
-
<0≦πにおいて,不等式 cosO≧
(ii) 0が(i)で求めた範囲を動くとき, 関数
1
を解け.
√2
y=-cos20-2sin0+1の最大値と最小値を求めよ.
(4)AB = 3, BC = 5, CA =2√6 の三角形 ABC がある.
(i)
=
cos∠ABC の値を求めよ.
(ii) 三角形ABC の外接円のAを含まない弧 BC(両端を
除く)上に点D をとり, 線分AD と辺BC の交点をEと
する. BE = x とおくとき, 線分AE の長さをxを用いて
表せ. さらに, AE:ED = 2:1であるとき, xの値を
すべて求めよ.

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高3数学 || 型 2025年10月第3回全統記述 @自学
1 小問集合
(1)実数
(i) a = 2+√
1
1
2-√√3
2- 13
a
2+√3 (2+√3)(2-√3)
(ii) p(2+√3)+g(2-√3)=1
∴ (2p+2g)+(p-g)√3=1
p, gは有理数だから
[2p+2q=1
lp-g=0
:. p = q
=
(2) 場合の数
AAIJKKUUW (6種類 9文字)
(i)P4 = 360 (通り)圏
4!
(ii) (AAKK) (AAUU) (KKUU)のそれぞれで
ずつだから
2!2!
4!
x3=18 (通り)圏
2!2!
(iii) ちょうど3種類
→ AA or KK or UU and (選んでない文字から2種類)
4!
3
CxsC2x
- 360 (通り)
2!
これとi, ii より
360 +18 + 360=738 (通り)圏