Question

ゆり

←まではできたのですが波線への変形が分かりません。解説お願いします。

次の条件によって定められる数列 {a,)の一般項を, [ ]で示したおき換えを利用すること
により求めよ。
a=3, an1=2a,ーn
[an+1-4,=b)
a月+1=2a-れ
のにおいて、#の代わりに#+1とおくと
a42=2a+1-(#+1)…
の-O から
4月+2-Q月+1=2(am+1-Q)-1
C+1-a,=b,とおくと
変形すると
b+1=26,-1
b-1=2(b,-1)
よって,数列b,-1}は公比2の等比数列で, 初項は
bュ-1=(a2-4)-1%3(4)-2)-1%31
さつ
ゆえに
b,-1=1-2"1
よって
b,=2"-1+1
入
す
したがって、n22のとき
#-1
a,=4,+2=3+(2-1+1)
41
2-1-1
2-1
#ー1
=3+
2ャー1+1%3D3+
=2"-1+ル+1
この式にn=1 を代入すると
4;=2°+1+1=3
初項は a」=3なので, この式は n=1のときにも成り立つ。
よって
a,=2"-1+1n+1

漸化式