✨ Best Answer ✨
x=1, x=3で極値をとるので, f'(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-1)(x-3)[因数定理を思い出そう]と書くことができます.
x=1で極大値, x=3で極小値となるためにはa>0であることが必要です[増減表を自分で書いてみるといいでしょう].
これから2b=-12a⇔b=-6a, c=9aであることが分かりました. つまりf(x)=ax^3-6ax^2+9ax+d=ax(x-3)^2+dです.
またf(1)=4a+d=5, f(3)=d=1からa=1(>0), d=1とすべての係数を定めることができました.
[f(x)=x^3-6x^2+9x+1のグラフを書いてみれば確かに条件を満たしていますね.]
[補足]
つゆこ。さんは数学が苦手かもしれないので, 基本的なことを確認しておこうと思います.
x=aで極値を持つ⇒f'(a)=0⇒f'(x)はx-aで割り切れる[これは因数定理からです].
この問題だとf'(x)はx-1とx-3で割り切れるのでf'(x)=c(x-1)(x-3)で, 最高次の係数が合うようにc=3aとしたわけです.