Question

あずさ

青線をつけた部分の意味がよくわかりません。　
なぜ割り切れるから3x^2-3も割り切れるのでしょうか？

問5
菱数学II·数学B
(3) 関数 g(t)はの係数が3の2次関数である。 また,
(問発)
h(x) = x°-3x+2|9() dt
付
h(x).の導関数h'(x) および g(x) を xの整式とみたとき, K'(x)はg(x) で割り
切れるものとする。 このとき, h(x) を求めよう。
…(*) で定義された関数 h(x)がある。
飲合
(*)の両辺をxで微分すると, W (x) =
であ
ナ
ニ
+2
ヌ
る。
ヌ
に当てはまるものを, 次の①~Oのうちから一つ選べ。
O g(x)
0 g(x)
@ g()
6 g'(t)
よって,h'(x) がg(x) で割り切れ, g(x) は x の係数が3の2次関数であるこ
とからg(x) が定まり
K' (x) =
ネ
x?
となる。 う
さらに, h(1) =| ハヒ
であることから
ケ
h(x) =
へ
x+
ホ
フ
lx3.
と求められる。
1)

JOdt=S-
dx.
F) -「r0d=0
「rx) dx =0
リ。
F(x) = | F) より F'(x) =Df(x)
ここで,y=f(t) のグラフより
f(a) = f(6) = 0
xくa, b<xのとき f(x) > 0
a<xく6のとき f(x) <0
OAP ON
待られる
(極大値や極小値に
きは、増減表をかく
から得ら
よって,F(x) の増減表は次のようになる。
b
a
x
0
0
F(x)
F(x)
*極大
極小
問 a
これより,F(x) の極大値は F(a) (0)である。
解法の糸口
aSxsbにおいて F(x) は減少し, a<1<bであるから
増減表から、
F(b) の大小関係
F(1) = 0 より
F(a) > 0, F(b) <0 (②)
h(x) = x°-3x+2
|() dtをxで微分すると g(x) となる。
よって,(*)の両辺をxで微分すると
K(x) = 3x°-3+2g(x) (0) -
これより
K(x)-2g(x) = 3x°-3
ここで,K'(x) は g(x) で割り切れるから, W(x)-2g(x) すなわち3x?-3
もg(x)で割り切れる。 g(x) はxの係数が3の2次関数であるから
g(x) = 3x°-3
のをのに代入して
K(x) =D 3x°-3+2(3x°-3) 自料m:
Anは正の整数,
き
(x) =
(c) = 0
= nx"
= 9x°-9
これより
2
ある

Answer 1

peekAboo

h'(x)はg(x)で割り切れるので、
h'(x)=a(x)g(x)とできます。

よって、
h'(x)-2g(x)={a(x)-2}g(x)
となるので、g(x)で割り切れます。