Question

魚見さん

添付画像１枚目の（２）について、
画像３枚で「0<a<1のときに、x＝n+1を」、
「a>1のときに、x＝2n-1を」求める理由がわかりません。

なぜこれで必要十分条件が求まるのかを教えてほしいです。

aを1ではない正の実数とし,nを正の整数とする。次の不等式を考ええ
log。(x-n)>-log。(2n-x)
(1) n=6のとき,この不等式を満たす整数xをすべて求めよ。
(2) この不等式を満たす整数xが存在するためのnについての必要十分条件を並
よ。

log。(x-n)>-log。(2n-x)
(aは1でない正の実数,n は正の整数)
真数は正である(真数条件)から
x-n>0 かつ 2n-x>0
…D
である。(*)の両辺を2倍して,対数の性質を用いると
したがって
nく<x<2n ……の
log。(x-n)?>log.(2n-x)
となり,これは,①のもとで,次と同値である。
(x-n)?<2n-r …②
(x-n)>2n-x
0<a<1のとき
a>1のとき
3
(1) n=6 とする。

19) f(x) = (x-n)"- (2n-x) =x*ー (2n-1)x+n°-2n
とおくと,y=f(x)のグラフは下に凸の放物線である。このとき
f(n) = -n<0, S(2n) =n°>0
2n-1
軸の方程式x=
1
三ル
2
2
に注意する。
0<a<1のとき,(*)は,①かつ② (②→ (x)<0)
と同値であるから,これを満たす整数rが存在するため
y=f(x)|
には、右図より
f (n+1)=1°-(n-1) =2-n<0
すなわち
n>2
n+1
であることが必要十分である。
a>1のとき,(*)は, ①かつ③(③→f(x) >0)と
同値である。これを満たす整数xが存在するためには。
右図より
f(2n-1)= (n-1)?-1=n"-2n
0
* 2n
X
2n-1
Tot
1
x=1-2
=n(n-2)>0

Answer 1

✨ Best Answer ✨

neutral

0<a<1の場合を考えます。

「n<x<2n（①）のもと、f(x)<0（②）となる整数xが存在する（★）」ための必要十分条件を考えるのに、注目すべきは「軸の位置および単調増加性」と「f(n)、f(2n)が0より大きいか小さいか」です。

軸の方程式は模範解答にある通りx=n-1/2です。①の左側の外にあることに注意すると、①の範囲でf(x)は単調増加します。つまり、xが増加すればかならずf(x)も増加します。

このことから、①の範囲でxを整数に限定すると、f(x)が最小となるのはx=n+1としたf(n+1)です。単調増加性よりf(n+1)よりf(n+2)の方が大きく、f(n+2)よりf(n+3)の方が大きく…と続いていきます。

またf(n)<0およびf(2n)>0より、★が成り立つには少なくともf(n+1)<0が必要です。
なぜなら、f(n+1)<0が成り立たない、すなわちf(n+1)≧0である場合、f(x)<0となるxが他に存在していなければなりませんが、単調増加性によりf(n+2)、f(n+3)、…、f(2n-1)はすべてf(n+1)より大きくなるため、これらはすべて0以上となってしまいます。すなわちf(x)<0となるxは存在しなくなってしまいます。

ゆえにf(n+1)<0は★となるための必要条件です。逆に、f(n+1)<0であるときx=n+1が他ならぬ★を満たすxであることから、f(n+1)<0は★となるための十分条件でもあります。
よってf(n+1)<0は★となるための必要十分条件です。

a>1の場合も同様に示せます。

魚見さん

あぁなるほどぉ！めっちゃ感動！！！

回答ありがとうございました！