Question

陽空

線を引いた部分は、AH2乗＋BH2乗＝AB2乗ではダメですか？？？？

半径1の球0に正四面体 ABCD が内接している。このとき,次の問いに答えは、
ただし、正四面体の頂点から底面の三角形に引いた垂線と底面の交点は, 底面の
指針>(1)p.255~p.257 の例題 165, 166 と同様に,立体から 平面図形を取り出して考える。
重要例題169 球と球に内接する正四面体の体積比
三角形の外接円の中心であることを証明なしで用いてよい。 わ「
(1) 正四面体 ABCDの1辺の長さを求めよ。だし
(2) 球0と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 面装V
【類お茶の水大
、、周の
重要16
Tar 本
指針>(1)p.255~p.257 の例題 165, 166 と同様に, 立体から 平面図形を取り出して
)図
ABH の斜辺ととらえ,三平方の定理 から求める。
7OV2
10円0。
-x(底面積)×(高さ)
(2) 正四面体 ABCD の体積は-
1
×△BCD×AH
3
三
12
(p.256~p.257 重要例題 166 参照)
果謝(S)
MM
解答
(1) 正四面体の1辺の長さをaとする。
正四面体の頂点Aから ABCDに
垂線 AH を下ろすと, Hは △BCD
の外接円の中心である。
ABCD において,正弦定理により
銀問4球に正四面体が内接すると
いう場合,正四面体の4つ
の頂点は球面上にある。
ューニ
/ く世き難円面
(B
APAITY
ゆえに BH=-
AH
a
a
2sin60°
3
ZDBC=60°, CD=aであ
るから,ABCD の外接円
の半径をRとすると
よって
AH=VAB?-BH
よって
BHL
2
a
CD
=2R
AHitBHF- AB2 sin ZDBC
では当が
D
三
3
a
3
直角三角形 OBHにおいて, BH+OH*=OB° からAコ+3日A)=08A
201
2
ゆえに a(a-246)-0
a
2/6
J同
/3
内角が30、6090の
(aの2次方程式を解く。
a-
=1
3
したがっ
a>0であるから
2,6
a=
3
*コー

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ウンウントリウム

この三平方の定理を用いた計算は未知数のaを求めるためのものです。

この計算の手前で、AH2乗＋BH2乗＝AB2乗の関係式を用いてAHを表現しているので、これをまた用いたところでただの恒等式になるだけです。

未知数aを求めるためには、球の半径OBを新たな情報として用いた解説の式を使う必要があります。

陽空

なるほど！ありがとうございます！！！