Question

魚見さん

赤枠について、なぜ（ベクトル）nと（ベクトル）ADの内積を求める必要があるのか教えてほしいです。

96 (四面体の体積の最小値 30 分>
座標空間に4点A (0, 1, -1), B (1, 2, 0), C(-1, 2a - 2, 1),
D(6° - 26+ 2, 0, 0) がある。
(1) AB と AC とが垂直になる実数aの値を求めよ。
(2)(1) のとき,2つのベクトル AB, AC の両方に垂直な大きさ1のベクトル
を1つ求めよ。
(3)(1) のとき,四面体 ABCD の体積が最小となる実数6の値を求めよ。ま
た,そのときの体積を求めよ。
く京都産大〉

)点Dと平面 ABC との距離をhとし,n と AD のなす
としてもよい。
角を0とすると,右図から
h= ADICOS O| = | n ||AD||cos 0|
2O
三
D
= |7- AD
'6° - 26+ 2
3③
-1
だから
h
C
ここで, AD
1
0
n
7. AD =
V2
1
{(6° - 26+ 2)+ 1}
A
B
これを③に代入して
1
(6° - 26+ 3)
h
また、(1) のとき三角形 ABC は直角三角形であり, その面
積は
1
-AB·AC=
2
1
V3.V6=
2
3
V2
2
△ABC=
AB
AC.
ゆえに,四面体 ABCD の体積Vは
から
1
△ABC·ん
3
V:
AB = V3, AC == V6
ニ
1
3
1
V2
(6°
- 26+3)
T-00
ニ
3
2
V2
1
11
;(6-1°+ 2|2-2
2
よって,体積V はb=1のとき最小値1をとる。
II

Answer 1

✨ Best Answer ✨

さい先生

高さhを求めるために、AD×｜cosθ｜を考えるわけですが、cosθの値を計算するのは難しそうです。
そこで、ベクトルnの大きさが1であること、その成分を(2)で求めていることから、内積の定義の形に式変形してみると、
簡単に高さhを計算することが出来るのです。

魚見さん

あぁ〜なるほどぉ！
そういうことでしたか！　

回答ありがとうございました！