Question

ぽよ

AP+PB=A'P+PB≧A'Bがどうして必要なんですか？
それと≧になることを考えなければいけないのはなぜですか？

重要 例題87 折れ線の長さの最小
OOOOの
xy平面上に2点A(3, 2), B(8, 9) がある。 点Pが直線(:y=x-3上を動くと
き、 AP+PBの最最小値と, そのときの点Pの座標を求めよ。
基本 86
指針>直線(:y=x-3上の点P(x, y)に対し
などとして AP+PB の最小値を求めるのは大変である。
そこで,見方を変えて, 図形的に解決することを考える。
右の図で、A, B が直線《に関して同じ側にある ことに注
意して、まず,点Aの, 直線《に関する対称点A' をとると,
AP=A'Pであるから
AP=(x-3)+(y-2)
AP+PB=A'P+PB
A'
更に
A'P+PB2AB
この等号が成り立つのは,
3点A', P, Bが一直線上にあるときである。
CHART 折れ線の問題 対称点をとって1本の線分にのばす
解答
図のように,2点 A, Bは直線
に関して同じ側にある。
直線しに関してAと対称な点を
A(a, b) とする。
直線 AA'はlに垂直であるから
B(8,9)
折れ線の問題では, 線対称
移動を考えるとよい。
(数学A:図形の性質参照)
yーxー3
A
1P
(3,2)
6-2
·1=-1
直線(の傾きは1で, 明ら
a-3
0
3 A(5,0)
かに
aキ3
ゆえに
a+b=5……
の
ー3
線分 AA'の中点は直線(上にあ
2+6
3+a
-3
2
(線分 AA'の中点の座標は
2+6
るから
2
3+a
ゆえに
0, 2を解いて
ここで
よって,3点A,P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最
小になり,その最小値は
a-b=5 … (2)
2
2
a=5, b=0
よって
A'(5, 0)
AP+PB=AP+PB2A'B
AAP=A'P
A'B=(8-5)+(9-0)%3D3 10
42点A', B間の最短経路
は, 2点を結ぶ線分 A'B
また,直線 A'Bの方程式は
直線3との方程式を連立して解くと
したがって、求める点Pの座標は
y=3x-15
である。
x=6, y=3
(6, 3)
平面上に2点A(-1, 3), B(5, 11)がある。
87| (1) 直線y=2xについて, 点Aと対称な点Pの座標を求めよ。
(2) 点Qが直線ソ=2x上にあるとき, QA+QBを最小にする点Qの座標を求め
[東京薬大)
p.141 EX60
よ。

Answer 1

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暇つぶし

高校数学の採点基準がどうかわからないので
責任は持てませんが、
個人的には該当の不等式を取り出さずに
「点Pが線分A'B上にある時最小値A'Bをとる」
だけでいい気がします。

この不等式の意図は
「点Pが線分A'B上にある時最小値A'Bをとる」
の説明です。
最小値というのはあらゆる値の候補の中で
最も小さい値のことですから、
あらゆる値の候補 ≥ 最小値
が成立します。
(例えば二次関数の最小値については、
すべてのxに対して (x-a)^2+b ≥ b)
写真の解答は以下の流れになっています。
任意の点Pに対して三角不等式より
A'P+PB≥A'B
が成立しますが、
A'P+PB=A'B
となるような点Pを見つければ
A'P+PBは最小となり、その値はA'Bです。
線分A'B上にPを取れば
A'P+PB=A'B
となりますのでy=x-3と線分A'Bの交点が
求める点です。