Question

サスケ

数列の問題です。画像2枚目には問題(2)のグラフ的な考え方が載っているのですが、この考え方を解答とするのはダメでしょうか？

二項間漸化式が与えられている時のa_(n+1)=a_nとなるa_nというのは極限値そのものであるような気がします。

43 漸化式と極限
(1) ☆☆
(2) 安
a=1, an+1=
1/12an+1 (n=1,2,3,…) で定まる数列{an} につい
)
3
て 次の問いに答えよ.
(1) 一般項an を求めよ.
(2) 数列{an} の極限値を求めよ. 44

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このことを考えてみましょう.
Počes AN
まず,関数f(x)=1/12x+1 を用意すると,与えられた漸化式は
an+1= f (an) と表せます. そこで,横軸xをan に, 縦軸y を an+1 に
名称変更してグラフにすると、図のよ an+1,
うになります.
an+1=an
3
2
a3
a2
=1/23an+1
これは,ある項αを横軸上にとる
と,次の項α+1 が縦軸上に表される
ことを示しています。
Ha1
1 23
an
そこで,直線 an+1=an (y=x)
2
3
を用意すると an</2/27 のとき,直線an+1= 11/23an+1は不等式
an+1> an (y>x) をみたす領域にあるので,数列{an} が増加するこ
とを示しています。
実際に α=1から順にとっていけば, an は, 2つの直線の交点
3 3
3
のx座標 に近づいていくことが読み取れます。
9
2 2
2
だから, (2)の結果は, 偶然ではないということです.
an+1=-
SOD
Im

漸化式 数列 極限