Question

ℎ

等比数列の複利計算の質問です。何故1＋rがn -□乗されてるんですか？

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基本例題 98 複利計算と等比数列
基本96
毎年度初めにP円ずつ積み立てると, n年度末には元利合計はいくらになるか。
年利率をr, 1年ごとの複利で計算せよ。ただし,r>0 とする。
指針 「1年ごとの複利で計算する」とは,1年ごとに利息を元金に繰り入れて利息を計算するこ
とをいう。各年度初めに積み立てる P円について,それぞれ別々に元利合計を計算し、
後に合計を求めることにする。
3年度末
(-2) 年度末(n-1) 年度末
1年度末 2年度末
年度末
tp円積立
・P円積立
図から, n年度末までの合計は
P(1+r)"+P(1+r)"¯¹ +...+P(1+r)²+P(1+r) Ħ
等比数列の和
解答
毎年度初めの元金は、1年ごとに利息がついて (1+r) 倍となる。
よって, n 年度末には,
1年度初めのP円はP(1+r)" 円,
2年度初めのP円はP(1+r)^-1円,
n年度初めのP円は P(1+r) 円 になる。
したがって,求める元利合計 Sn は
Sn=P(1+r)"+P(1+r)”¯¹+· +P(1+r)
P(1+r){(1+r)”−1}
(1+r)-1
P(1+r){(1+r)^-1}
(円)
r
↑p円積立
Lp円積立
P(1+r)” 円
P (1+2) - 1円
P(1+r) -2 円
P(1+r)² A
P(1+r) A
・P円積立
右端を初項と考えると, Sn
は初項 P(1+r), 公比1+r,
項数nの等比数列の和であ
る。