Question

な

数学B 数列です
画像の問題の別解の解説の、「なぜこうおく？」と印をつけているところで、なぜf(k)をこう置くのですか？
私は、k×2ᵏ⁻¹のkは一次関数で表せるのかなと思いましたが、表せる理由がいまいちわかりません。それと、f(k)を用いる理由は、f(k-1)を共に用いてf(k)-f(k-1)を計算したときに、2の指数がちょうどk-1になって計算しやすくなるからですか？

ちなみに答えは
(n-1)2ⁿ+1です。
どなたかご回答よろしくお願いします🙇‍♂️

一般項が an=n・2"-1 (n=1, 2,3,…. と表される数列{an}
について S=a+αz+... +an とおく. このとき, S-2S を計算
することによってSを求めよ.

=n・2"-
2-1
2-1
なぜこうおく?
=(n-1)2"+1
(別解) f(k)=(ak+b) 2 とおくと,
f(k-1)=(ak+6-α)2k-1
f(k-f(k-1)=(ak+b)2k-(ak+6-α)2k-1
={2(ak+b)-(ak+b-a)}2k-1
=(ak+6+α)2k-1
これが, k2k-1 と一致するような α 6 は
a=1, 6+α = 0 をみたすので, a=1,b=-1
よって, f(k)=(-1)2 と定めると
k.2k-1=f(k)-f(k-1)

n
n
:: S=Σk.2²-1= Σ(ƒ(k) — ƒ(k − 1))
s=k.
k=1
k=1
=(n-1)2"+1
=(ƒ(1)−ƒ(0))+(ƒ(2)
=f(n)−f(0)=(n−1)2−(−1)
− ƒ(1))+ ··· + (ƒ(n) − F(n-1))

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