Question

ひな

教えてください！マーカーを引いているところが理解できません。『3の倍数ではない』と書いてありますが、何故急に3が出てくるのかわかりません。また次に書かれている不等式の意味もわかりません。すみません、解説お願いします🙏

59
54
282 次の条件を満たす自然数n をすべて求めよ。
少59。
(1) 14m +52と4n+17 の最大公約数が5になるような50 以下のn

282 (1) 14+52= (4n+17)・3+ (2n+1)
4n+17=(2n+ 1 ) ･ 2 + 15
よって, 14n+ 52 と 4n + 17 の最大公約数は,
2n+1と15の最大公約数に等しい。
したがって 14n+52 と4n+17 の最大公約数が
5のとき, 2n+1は5の倍数であるが、 3の倍数
でない。
また, 3≤2n+1≦101 であり, 2n+1は奇数で
2n+1=5, 25, 35, 55, 65, 85, 95
あるから
よって
n=2, 12, 17, 27, 32, 42, 47

ユークリッドの互除法

Answer 1

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和

題意を言い換えると
2n+1と15の最大公約数が5となるnは？
となります
以下、正の約数のみ考えます

15の約数は1,3,5,15です
つまり2n+1と15の公約数の可能性のあるものは1,3,5,15
2n+1と15の公約数のうち最大のものが5ということは
15は2n+1と15の公約数ではないということ

もしも2n+1が15の倍数だと、
2n+1と15の最大公約数は15になってしまい、矛盾します
よって2n+1は15の倍数ではない

しかしいま、条件より2n+1は5の倍数です
このうえ2n+1が3の倍数だと、
2n+1は15の倍数になってしまいます
よって、2n+1は3の倍数でない

くどく言うとこんな感じでしょうか

ひな

101というのはなんですか？どこから来ているんですか？すみません💦

和

すみません、答えそびれました

問題文からnは1≦n≦50です
ここから2n+1の範囲を作っています
具体的には1≦n≦50の各辺を2倍して2≦2n≦100
各辺に1を足して3≦2n+1≦101となります

ひな

分かりましたありがとうございました✨