Question

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赤の下線部分の解説お願いします、、！

求め
練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。
(2) x10+x5+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。
⑥55
(1) x” を (x-2)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとす
ると,次の等式が成り立つ。
x"=(x-2)^Q(x)+ax+b ...... ①
両辺に x = 2 を代入すると
すなわち
b=2"-2a
①に代入して
2"=2a+b
②
x"=(x-2)^Q(x)+ax+2"-2a
=(x−2)²Q(x)+a(x−2)+2″
=(x-2){(x-2)Q(x)+α}+2"
よって
x"-2"=(x-2){(x-2)Q(x)+α}
ここで, xn-2"=(x-2)(x"-1+xn-2.2+....‥.+2-1 であるか
ら
両辺に x=2 を代入すると
a=n・2n-1
すなわち
②から
したがって 求める余りは
+2n−1=(x-2)Q(x)+α
2n-1+2n−1+･･････+2n-1=a
xn-1+xn-2.2+･･･
b=2"-2×n・2n-1=(1-n)2"
n・2"-'x+(1-n)2"
別解(1) 二項定理を利
用。
x={(x-2)+2}"
|=(x-2)"+nCm-1(x-2)^-12+
......+ C₂(x-2)²2-2
+nCi(x−2)21+2"
=(x-2)^x (整式)
+n・2^-1x+(1-n)2"
よって, 求める余りは
n.2"-lx+(1-n2"
←27-1 は n個ある。
←2.2n-1=2"

Answer 1

✨ Best Answer ✨

おぐりん

二項定理ではありませんが、n乗の差の因数分解公式を使っています。

おぐりん

前半部分は確かに二項定理ですが、赤線部分は因数分解公式です。

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ありがとうございます、、！

Answer 2

えだまめ🫛

x² - 2² = (x-2)(x+2)
x³ - 2³ = (x-2)(x²+2x+4)
x⁴ - 2⁴ = (x-2)(x³+2x²+4x+8)
x⁵ - 2⁵ = (x-2)(x⁴+2x³+4x²+8x+16)
…
というように
xⁿ - 2ⁿ は x-2 で因数分解ができます🫛

この問題は
xⁿ - 2ⁿ = (x-2)Q(x)とおいて解いてるのだと思います🌱

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2年前に理解した時2項定理を利用した考えだったと思うのですが、2項定理を利用して説明してもらえますか？((ｽﾐﾏｾﾝ🙏🏻

えだまめ🫛

二項定理は(a+b)ⁿの展開をnCpを使って表現するというものですが、今回はあまり関係がないかと思います🌱

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そうなのですね、ありがとうございます😊