Question

つくね

（3）おしえていただけるとありがたいです…！

16 次の和を記号を用いて表し, 和を求めよ.
(1)12+32 +52 +‥‥‥ + (2n-1) 2
(2) 122+223+…+n²(n+1)
(3) 1.(2n-1)+3(2n-3)+5(2-5)+... +(n-1)・1
(4) 1・2・3+3・4・5+ 5・6・7+・+ (2n-1)n(n+1)
教

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

この数列の第k項a[k]をもとめる。
a[1]=1・(2n-1)
a[2]=3・(2n-3)
a[3]=5・(2n-5)
…
において
積のうち左側は初項1,公差2の等差数列なので、
第k項は、2k-1

右側は初項（２n-1）,公差(-2)の等差数列なので、
第k項は、
(2n-1) + (-2)(k-1)
=2n-1 -2k +2
=(2n-2k+1)

よってこの数列の第k項は
a[k]=(2k-1)・(2n-2k+1)
と表すことができます。これを展開して
a[k]=4nk-4k²+2k-2n+2k-1
=4k²+4(n+1)k-1

Σ[k=1 ,n]a[k]
=Σ[k=1 ,n](4k²+4(n+1)k-1)
=Σ[k=1 ,n]4k²　+Σ[k=1 ,n]4(n+1)k　-Σ[k=1 ,n]1
=4n(n+1)(2n+1)/6　+4(n+1)n(n+1)/2　-n
=n{2(n+1)(2n+1)/3 + 2(n+1)² -1}
=n/3{2(n+1)(2n+1) + 6(n+1)² -3}
=n/3{2(2n²+3n+1) + 6(n²+2n+1) -3}
=n/3{4n²+6n+2 + 6n² +12n +6 -3}
=n/3{10n² +18n +5}