Question

ほの

円の問題です
写真1枚目が問題、2枚目が解答です
解答の①なぜ平方完成するのか、
②なぜ０より大きいと言えるのかが分かりません。
教えてください🙇🏻‍♀️🙇🏻‍♀️

167 方程式 x+y+lx+my+n=0 の表す図形
a,bは実数とする。 方程式 x2+y2+2ax-242+ab-b=0 が,どのような
aの値に対しても円を表すとき, 6の値の範囲はア<b<イウである。
J

167 方程式 x 2 + y2+lx+my+n=0 の表す
x2+y2+2ax-2a2+ab-b=0から
(x+a)2+y2=3a2-ab+b......
①
図形)
STI
①がどのようなαの値に対しても円を表すから,
右辺はすべてのαの値において正である。
右辺をαの2次式とみて、平方完成すると
3a2-ab+b=3a-
= 3(a–.
6\2
b2
+6
6
12
62
②
ゆえに,+6> 0 から
0<bイウ12
12

円

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

「すべてのaに対して○○>0」
の問題になるからです

ほの

ありがとうございます！

Answer 2

かなやん

ほの様
質問の①, ②ともにセットで扱う話なので同時に説明したいと思います

解答の２行目で中心と半径がわかる円の方程式
　　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 →中心(a, b) 半径r
という形に式変形されました

問題は、方程式がどのようなaの値に対しても円を表すときと示されています

円に必要な要素は中心と半径なわけですが、
今回の式でいうと
　　中心(-a, 0) 半径√(3a^2-ab+b)
となるわけです
このとき、半径が0だったり負の数だと円にならないわけですね！
解答の４行目がこのことを示しています
「右辺はすべてのaの値において『正』である」

そして、右辺はaについての2次式となっており
2次式(2次関数)の最大値や最小値は平方完成をすると確認できます

実際に右辺は
　　3a^2-ab+b=3(a-b/6)^2-(b^2)/12+b
となり　3(a-b/6)^2≧0 であるから
右辺を正にするためには②の部分である
　　-(b^2)/12+b>0
を満たす必要がある
これを解いて　0<b<12 となります

つまり、0<b<12であればaの値にかかわらず半径の部分は必ず正となり円が成り立つということです！

ほの

ありがとうございます！