Question

ねぎみそ

(1)の問題で四角で囲ってあるところの上までは解けました。ですが、この四角で囲ってあるところはなにをしているんでしょうか？

補
2次の不定方程式
第3章 数学と人間の活動 187 口
STEPB
322 次の等式を満たす整数x、yの組をすべて求めよ。 2桁以上の数は平方数
(1) xy-5x-y=0 (2) xy+8x+4y=-40 *(3) 2xy-2x-5y=7

から
30x=1.x=x (mod 29), 903 (mod29) である
x=3 (mod29) S+g)
よって (2x-5,y-1) = (1,12),(3,4,
+(-1, -12), (-3, -4)
2)=41
よって,kを整数として, x=29k+3 と表される。
これを方程式に代入すると
ゆえに (x,y)=(313),(4,5),(2,-11),
(1, -3)
93(29k+3)-29y=424
について解くとy=93k-5
323 (1)
2
1
=1の両辺にxy を掛けると
にな
よって, 求める整数解は
x
y
y+2x=xy
(Sx=29k+3,
y=93k-5(kは整数)
すなわち
xy-2x-y=0
①
7)
参考 6と29は互いに素であるから,
ここで xy-2x-y=x(y-2)-(y-2)-2
=(x-1)(y-2)-2
6x18 (mod29) の両辺を6で割ると
x=3 (mod 29)
よって, ① は (x-1)(y-2)-2=0
すなわち (x-1)(y-2)=2
るか
322
る。
=41
整数)
数か
平行でない
(整数)×(整数)=(整数)の形に変形して左辺の
因数の組合せを考える。
(1) xy-5x-y=x(y-5)-(y-5)-5
よって、等式は
=(x-1)(y-5)-5
(x-1)(y-5)-5=0
すなわち (x-1)(y-5)=5
x,yは自然数であるから, x-1 y-2 も整数
で,x-1≧0, y-2≧-1である。
よって (x-1,y-2)=(1,2),(2,1)
ゆえに (x, y) = (2,4),(33)
y
41
(2)
=1の両辺にxy を掛けると
x
すなわち
4y-x=xy
xy+x-4y=0
①
y=c
数6
か
x,yは整数であるから, x-1, y-5 も整数で
ある。
よって (x1,y-5)=(1,551) -
ale
(-1,-5), (-5, -1)
(x, y)=(2, 10), (6, 6), (0, 0),+)
((-4, 4)
(2) xy+8x+4y=x(y+8)+4(y+8)-32
=(x+4)(y+8)-32
よって, 等式は
(1)
(x+4)(y+8)-32-40
る。
数学A STEP A・B
発展問題
ここでxy+x-4y=x(y+1)-4(y+1) + 4 Se
=(x-4)(y+1)+4
よって, ① は (x-4)(y+1)+4= 0
すなわち
(x-4) (y+1)=-4
x,yは自然数であるから, x4,y+1 も整数
で,x-4-3, y +1≧2である。
よって (x-4, y + 1) = (-2, 2), (-1, 4)
ゆえに (x, y) = (2,1),(33)
1 1
(3)
+
=
の両辺に 5xy を掛けると
x
y
すなわち
5y+5x=xy
xy-5x-5y=0
①

Answer 1

✨ Best Answer ✨

塾講師 「たおたん先生」

(x-1)(y-5)=5となり
xとyはともに整数なので
x-1も整数(整数xに1を引いても整数)
y-5も整数(整数yに5を引いても整数)
よって(x-1)(y-5)=5は
整数×整数=5(整数)
の形になっているので
(x-1)と(y-5)は5の約数(1,5,-1,-5)ということが確定する
x-1とy-5の組合せは
(x-1,y-5)=(1,5) (5,1) (-1,-5) (-5,-1)
これは答え(xとyの組合せ)ではなく、あくまで「x-1とy-5の組合せ」なので、「xとyの組合せ」に変換しないといけない
(x-1,y-5)=(1,5)のとき
(x,y)=(2,10)
このように(x-1,y-5)=(1,5)以外の (5,1) (-1,-5) (-5,-1)も同じように変換して(x,y)の組合せに変換している。

ねぎみそ

とてもわかりやすい解説ありがとうございます。
理解出来ました！