Question

きいろいろ

(4)についてしつもんです。
自分はC点とE点での鉛直成分の速度に着目して解こうと思ったのですが、答えが合いません。どこが間違っているのでしょうか？
ちなみに答えはAとEの力学的エネルギーに着目したスマートな解法で√2grでした。

力学 17
Date
21 基 半径の円弧の形をした滑ら
かなすべり台 ABC が, 水平な床にB
点で接して固定されている。 中心を
Oとする円弧 ABC は鉛直な平面内に
あり, ∠AOB=90° ∠BOC=60° で
m
D
A
90°
60°
Ch
E
B
ある。 A点に静止していた質量mの小球が,すべり台をすべり落ちて
B点を通り, C点ですべり台から飛び出す。 そののち, 最高点Dに達
し,再び落下してE点において床と衝突する。 重力加速度をg とする。
(1) 小球のB点での速さ vs を求めよ。 また, C点での速さvc を求めよ。
(2) AC間で,小球にはたらく重力のした仕事と垂直抗力のした仕事を
それぞれ求めよ。
(3) D点での小球の速さとD点の高さんを求め, それぞれr, g を
用いて表せ。
(4) E点で床に衝突するときの速さvg を求め, r,g を用いて表せ。
(センター試験)

(VE sin 60°) - (VC sin 60°)2=2gh
3VE-34-2gh
4
2
-
4
3√E = 8gh + 3gr
3√₁² = Mar+³ gr
2
VE =
108t
3
VE
= 108+
№ 3

Answer 1

🍇こつぶ🐡

間違いの原因： レール上での運動なのに、鉛直方向を「加速度
の等加速度直線運動」として計算してしまったこと。

正しい考え方： レールからの垂直抗力は常に移動方向と垂直で仕事をしないため、「全速力 」を用いた力学的エネルギー保存則を使うのが正解。

「スマートな解法」がなぜ正しいかというと、途中の複雑な加速度の変化を無視して、最初と最後の状態（高さと速さ）だけで答えが出るから。

空中を飛んでいる間も力学的エネルギーは保存される。
床（高さ 0）に達したときの速さを考える。
A点（高さ r）とE点（高さ 0）で比較する。

∴mgr＝(1/2)m(VE)^2＝VE＝√2gr🙇

きいろいろ

C点からは放物運動をするのに等加速度運動と捉えてはいけないんですか?

🍇こつぶ🐡

「放物運動は等加速度運動の一種」なので、等加速度運動として捉えて全く問題ありません。

「等加速度運動」という言葉は非常に幅広く、自由落下や斜面を転がる運動も含まれます。

C点から飛び出した後のように、「初速度の向き」と「加速度（重力）の向き」がズレている場合、その軌跡が数学的な放物線を描くため、より具体的に「放物運動」と呼び分けているだけです。

この問題の(3)や(4)を解く際、エネルギー保存則を使えば軌道の形（放物運動か等加速度か）を気にせず速さを出せますが、最高点Dの高さを出す時には、やはり「水平方向の速度はずっと変わらない」という放物運動の性質を利用するのが一番スムーズです。