Question

May3

不等式の質問です
細かい質問だと思うんですが、解説中に載っている、［2］のaの範囲の＝をとって、［1］と［3］のaの範囲に＝を含めてもいいんですか？

*55αを定数とする。 実数xについての2つの関数f(x), g(x) を,それぞれ
f(x)=x2-2ax+1,g(x)=x²- (2α-1)x+α-α とする。
(1) すべての実数xについて, f(x) ≧0 が成立するようなαの値の範囲は
ア≦a≦である。
(2) 0≦x≦2を満たすすべての実数xについて, f(x)>0 が成立するようなa
の値の範囲は a<である。
(3) g(x)≦0を満たすすべての実数xについて, f(x)>0 が成立するようなα
の値の範囲は <a<
H
である。
[23 摂南大

68
スタンⅠⅡABC受
別解 f(x)=0 の判別式Dについて D
56 絶対値を含む不
よって
=(-a)²-1.1≤0
私立大標準レベル
ゆえに, (a+1)(a-1) ≦ 0から
7-1≤a≤1
絶対値を含む不等式が
←
->>
(2) y=f(x) のグラフの軸は
直線 x=a
[1]
a
のとき
軸
下
軸x=a は 0≦x≦2の左
外にあるから,0≦x≦2
における f(x) の最小値は
f(0) =1
最小
D
よって、 常に f(x)>0を
満たす。
x=a
x=0x=2
[2]
ak のとき
[2]
軸x=a は 0≦x≦2 に含ま
れるから, 0≦x≦2 におけ
f(x) の最小値は
|軸
x=a
f(a)=-a2+1
f(x)>0 となるための条件
は
すなわち
a2+1>0
1<a<1
0≦a≦2 であるから
0≦a<1
[3]2 のとき
[3]
軸xaは0≦x≦2 の右
外にあるから,0≦x≦2
最小
x=0 x=2
2次関数がとる最
分けして考える。
f(x)=x2ax+3 と
f(x)=(
α\2
よって, f(x) の最小
a²
m=--
+3
[1] m>1 すなわち
0<a<2√2 であ
このとき f(x)>1
実数xは存在しな
[2] -1≧m≦1の
このとき,y=f
点のx座標をα,
f(x)|≦1 の解は
なお,α=βのと
そのときの不等
よって, p=a,
p≦x≦g と表さ
<-1のと
a4である。
このとき,y=
グラフが直線y
交わる点のx座
β(α<β), 直線
と交わる点の
[3]
最小
における f(x) の最小値は
f (2) =22−2a2+1
=5-4a
f(x) > 0 となるための条件
x=a
5-4a>0
x=0x=2
すなわち
5605
a<-
4
これはα>2を満たさない。
(3) g(x)=x2-(2a-1)x+a(a-1)
以上から、 求めるαの値の範囲は
d, B' (α'′ <B')
a<"1
と, 不等式 |
B'≦x≦であ

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

［2］のaの範囲の＝をとって、［1］と［3］のaの範囲に＝を含めてもいいんですか？
＞
＝を［1］や［3］の方に含めても、数学的に全く問題なし。

理由は、境界線となる a ＝ 0や a ＝ 2のとき、どちらのケースの計算式を使っても得られる結果（最小値）が一致するから🙇

May3

分かりました
ありがとうございます