Question

波瑠

数3積分の問題です。(4)の解説が最初の式から分からないので解説お願いします。((1)-(3)はなんとか理解できました)

58 次のことが成り立つことを証明せよ。
(1) So f (x) dx = So f (a+b−x)dx
f(x)dx=(a+b-xxx
*(2) So f(x) dx=S" (f(x)+f(x)) dx
2
*(3) Sof(x)dx = √ {f(x) + ƒ(a-x)} dx
a+b
a+b
(4) ƒ(a+x)=ƒ(a−x) * (at o f(x) dx=2√at f(x)dx
a-b

=f(x)dx=左
左辺 = $f(x)dx+ff(x)dx
(4)左辺 S
x = a +t とおくと
dx=dt
a
x と tの対応は右のように
なる。
4よって1=1
I
a
0
x
a-b
a
t
-b
0
x
0
-b
So f(x)dx=fa+nd="fa-t)dt
a-b
a-t=x とおくと
-dt=dx
-b
t と xの対応は右のように
なる。 050203.
よって
t
-b 0
x a+b
0onia
-b
a
So f (a− t) dt = √ a f(x)·(−1)dx
a+b
a+b
-[log
= Sato f ( x ) d
x
a
a+b
ゆえに」と左辺 =2ff(x)dx=右辺
x=logx

Answer 1

ととろ

積分区間 a-b から a+b をaで区切って
①a-bからa ②aからa+b の2つに分けます
あとは、
①の積分をx=a+tとおいてを置換積分、
次に a-t=x とおいて置換積分、
①が②の積分と等しいことを示しています
右辺は②の2倍