Question

ゆうたのすけ

解き方を教えてください！

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馬 5. 2 が 1 つずつっ記された 4 枚のカードがあぁる
抜き出しも とに戻すという誌行をヵ回繰り返す 坂き駅した本の教の息
とし, 積を Y。 とする。次の確率を ヵ で表せ。       (Qe 一浅太

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2) Y が6で振9切れる確圭

Answer 1

LUX SIT

これは良問なので時間を掛けて取り組んでください. 学べることがたくさんあります.
***
まずは問題を読み解くことからはじめましょう.
*1,2,3,4が1つずつ記されたカード→カードは完全に区別できます.
*これらのカードから1枚を抜き出しもとに戻すという試行をn回繰り返す. -> n回の各試行は独立です.
以上からこの操作によって生まれる全体の場合の数は4^nです.
***
(1)X[n]≦n+3: n回の試行で現れたカードの総和がn+3以下
一見すると抽象的です. おそらくここで詰まる人が多いんだと思います.
n回の試行でカードが全て1の場合, 最小値X[n]=Σ[k=1->n]1=nを与えることに気付けば[上限が与えられているときは下限についても考える]
X[n]=n, X[n]=n+1, X[n]=n+2, X[n]=n+3となる場合の数を勘定すれば, という問題に落とし込めます.
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X[n]=nのときはすべての試行で1が出ればいいので1通り.
X[n]=n+1のときはn=1のときは2が出るときで1通り, n≧2のときは2が1回出て, 残りが1であればよいからnC1=n通り. これはn=1のときも含む.
X[n]=n+2のときはn=1のときは3が出るときで1通り, n≧2のときは3が1回出て, 残りが1である, もしくは2が2回出て, 残りが1であるのいずれかなので, C(n,1)+C(n,2)=n+{n(n-1)/2}通り. これもn=1のとき1+{1(1-1)/2}=1となるので含みます.
X[n]=n+3のときn=1のときは4が出るときで1通り, n=2のとき, 1+4=4=1, 2+3=3+2の4通り, n≧3のとき, 4が1回出て残りが1, 2が1回, 3が1回出て残りが1, 2が3回出て残りが1の場合に限られるので, C(n,1)+[n!/{1!1!(n-2)!}]+C(n,3)=n+{n(n-1)}+{n(n-1)(n-2)/6}=(n+2)(n+1)n/6. ここでn=1のとき(1+2)(1+1)1/6=1, n=2のとき(2+2)(2+1)2/6=4なのでn=1,2のときも含めることが出来ます.
以上からX[n]≦n+3となる確率は
[1+n+[n+{n(n-1)/2}+{(n+2)(n+1)n/6}]/4^n=(n+3)(n+2)(n+1)/(6*4^n)
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最後の結果を見るとC(n+3,3)/4^n=H(n+1,3)となっていることが分かるでしょう.
なぜ重複組み合わせになっているか分かりますか?
x[i]をi番目の試行でカードに書かれた数とすると
0≦(x[1]-1)+(x[2]-1)+…(x[n]-1)≦3
yが0≦y≦3を満たす整数とすれば
(x[1]-1)+(x[2]-1)+…+(x[n]-1)+y=3
ここでx[i]-1, yは非負(0以上)の整数です.
これは3個のものを重複を許してn+1の箱に割り当てる状況と同等なのでH(n+1,3)と書けるのです.
一橋大の作題者はおそらくこの解答を想定したのでしょう.
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(2)Y[n]:積が8で割り切れる -> 割り切れない状況の方が少ないので, 8で割り切れない場合の数を勘定する.
n=1のときはいかなる数字が出ても8で割り切れない. 4通り
n≧2のときはn回奇数が出る, 1回偶数が出て残りが奇数, 2回2が出て残りが偶数のいずれかの場合なので
2^n+2[2か4が出る]*C(n,1)*2^(n-1)+C(n,2)*2^(n-2)=2^(n-3){2^3+2^3*n+n(n-1)}=(n^2+7n+8)2^(n-3). n=1のとき(1^1+7*1+8)*2^(1-3)=4なのでこの場合に含むことが出来る.
したがってY[n]が8で割り切れない確率は(n^2+7n+8)2^(n-3)/4^n=(n^2+7n+8)2^{(n-3)-2n}=(n^2+7n+8)/2^(n+3)
Y[n]が8で割り切れる確率は余事象だから
1-{(n^2+7n+8)/2^(n+3)}