✨ Best Answer ✨
問題文の指示にしたがっていきましょう.
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(5)(i)
点Aは直線ℓ_1と直線ℓ_2の交点だから, Aの座標を求める方程式はy=-3x+10=7x.
これを解くとA(1,7)である. 点Bは直線ℓ_1上にあるので媒介変数tを用いてB(t,-3t+10)と書ける.
ベクトルOAとOBのなす角が45°なのでOA・OB=|OA||OB|cos(45°).
ここでOA・OB=1*t+7*(-3t+10)=-20t+70,
|OA|=5√2, |OB|=√{(t)^2+(-3t+10)^2}=√{10(t^2-6t+10)}, cos(45°)=1/√2
から
-20t+70=5√{10(t^2-6t+10)}⇔-4t+14=√{10(t^2-6t+10)}
⇔-4t+14≧0かつ16t^2-112t+196=10(t^2-6t+10)
⇔t≦7/2かつ6t^2-52t+96=0
⇔t≦7/2かつ3t^2-26t+48=0
⇔t≦7/2かつ(t-6)(3t-8)=0
⇔t=8/3
したがってB(8/3,(-3)*(8/3)+10)=(8/3,2)
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[別解] 加法定理を知っていれば...[適切な解法をとれば計算量を減らせます.]
直線OBの方程式をy=mxとする.
ベクトルOAとOBのなす角が45°ならば, 2直線の傾きを余接と見立て, 加法定理を適用すれば
tan(45°)=(7-m)/(1+7m)⇔1=(7-m)/(1+7m)⇔m=3/4
点Bの座標を求める方程式はy=(3/4)x=-3x+10⇔B(8/3,2)
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s≧0, t≧0, s+t≦1, OP=sOA+tOBの描く図形が三角形の周とその内部なのは既に知っていると思います.
その形に変形していくことがポイントです.
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(ii)(i)の結果を使うと
s≧0, t≧0, (10s/3)+2t≦1 [分かりにくければu=10s/3, v=2tと置き換えるといいでしょう.]
OP=sOA+tOB=s(1,7)+t(8/3,2)=(10s/3)(3/10, 21/10)+2t(4/3,1)
これはO(0,0), A(3/10,21/10), B(4/3,1)を三頂点とする三角形の周およびその内部を表す.
したがって点Pの存在する領域の面積は
1/2|(3/10)*1-(21/10)*(4/3)|=5/4.
ありがとうございます！
理解できました。
[補遺]
加法定理の部分は以下のように考えた方が自然でしょう.
OAとx軸のなす角をα, OBのなす角をβとするとα=β+45°[角の関係に注意しよう],
またtanα=7, tanβ=m[傾きが余接]なので
tanα=tan(β+45°)
⇔7=m+1/(1-m)⇔7(1-m)=m+1⇔8m=6⇔m=3/4.