Question

Ꮢ𓂃◌

⑴r^m +1 ⑵r^2m +r^m +1
⑶5460

数列苦手なので基礎のところも説明してほしいです

() 初項q 公比の等比数列の初項から第 項までの和を 5。で表す。 を自拓才とす
るとき, 次の問いに答えよ. ただし, aキ0,ァ>0とする.

 

(G) -半を7と を用いて表せ
9

(②) -凌吐 を/とを用いて表せ.
5

(3) 5。ー4, 55。ー 20 のとき, 86 の値を求めよ。

Answer 1

LUX SIT

初項a, 公比rの第1項から第n項までの数列の和をSと書くことにすると
S=a+ar+…+ar^(n-1)
rS=ar+ar^2+…+ar^(n-1)+ar^n
と書けます[公比を掛けて一つずらす技術をよく理解しましょう]. 差をとると
(1-r)S=a-ar^n⇔(1-r)S=a(1-r^n)⇔S=a(1-r^n)/(1-r)
となっていわゆる等比数列の和の公式が導かれました.
***
(1)上の公式を使うと
S[m]=a(1-r^m)/(1-r)
S[2m]=a(1-r^2m)/(1-r)=(1+r^m)*a(1-r^m)/(1-r)=(1+r^m)*S[m]
なのでS[2m]/S[m]=1+r^mです. 1-r^2m=(1-r^m)(1+r^m)と因数分解しています.
***
(2)同じように考えると
S[3m]=a(1-r^3m)/(1-r)=(1+r^m+r^2m)*a(1-r^m)/(1-r)=(1+r^m+r^2m)*S[m]
なのでS[3m]/S[m]=1+r^m+r^2mです. こちらは1-r^3m=(1-r^m)(1+r^m+r^2m)を使っています.
***
(3)出来るだけ計算したくないので上手い方法を考えてみましょう.
S[m]とS[2m]の数値が与えられていることに注意すると
(1)からS[2m]/S[m]=20/4=5=1+r^m⇔r^m=4
S[6m]とS[2m]の関係に注意すれば[ここが難所でしょう.]
(2)からS[6m]/S[2m]=S[2*3m]/S[2*m]=1+r^2m+r^4m=1+4^2+4^4=1+4^2(1+4^2)=273
S[2m]=20なのでS[6m]=273*20=5460です.
***
等比数列は各項の比の比較なので, 比の関係を見ていくことが重要です.
(3)では特にその考え方が活きています.