(2)・不等式の証明
***
nが2以上の自然数のとき, 1+ 1
1
1
+ 十
・+
22
32
2
<2-
が成り
n
n
「ことを数学的帰納法で証明せよ。
考え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい
(I) n=2のとき,不等式が成り立つことを示す.
(2)のとき、不等式が成り立つと仮定し、これを用いて,nk
きも成り立つことを示す.
1 1
1
解答
1+
22 +
+
+
32
<2-
n
•••••• ① とおく
n
(I) n=2のとき,
15
224'
(右辺)=2-
1_3
=
2 2
(左辺)=1+2=
より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき ①は成り立つ。
(Ⅱ)n=k(k≧2) のとき, ① が成り立つと仮定すると,
以上
1 1
1
1+六十 +: +
1
<2-
......
22 32
..(*)
k²
=k+1 のとき,
1 10
1
1 1
1+ ・+ +
+ +
<2-
何を示すか
22 32
k²
が成り立つことを示す.
(右辺) - (左辺)
(k+1)2
+
k+1
る.
(右辺) (
1 1
1
1 +
を示せばよ
=2--
k+1
1+ + +
2232
・+・ +
k² (k+1)²+
(*) の仮定
2
1
不等
>2-
2. +
k+1
k (k+1)21
(Iに注意する
1
くな
>0
k(k+1)
したがって, (右辺) (左辺)>0 となり, n=k+1 の
ときも①は成り立つ.
AIS->-A
んは2以上
(I) (II)より、2以上のすべての自然数nについて ①は成りだからk(
よって,
立つ.
k
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