【Ⅲ型：積分〔回転体〕】9月第3回全統記述高3模試

不定積分定積分積分法の応用面積・体積曲線の長さ

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2025.09.21 公開

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度 9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅲ型
4 【Ⅲ型 必須問題】 (配点 40点)
座標平面上に曲線 C : y = elog x がある.ただし, eは自然対数の底で
ある.
(1) C,とx軸,および直線x=eで囲まれる部分をx軸のまわりに1回転し
てできる立体の体積を求めよ.
(2) C,上の点P(e, e)におけるCの法線を1とし,1と y 軸の交点をQと
する.また,Q を中心とし, P を通る円を C, とする.
(i) C2の方程式を求めよ.
(ii) C2とy軸の交点のうち, 原点に近い方を R とする.C2の短い方の
円弧 PR と C, およびx軸とy軸で囲まれる部分をx軸のまわりに1回
転してできる立体の体積を求めよ.

ページ2:

●自学 @Akagi
C₁: y = elogx
(1) x=1のときy=0, x=eのときy=e
求める立体の体積をVとすると
V₁ = √ y² dx = √(e logx)² dx = ·e² (log.x)² dx
πT
ここで, 部分積分法により
[* (log.x)² dx = x² - (log.x)² dx = [x(logx)²] - [x-2log x-1dx
x
=e-2| logxdx
= e−2[xlog x-x]
|| log xdx=xlog x−x+C
=e-2{(e-e) (0-1)}
=e-2
よって
V₁ = ñ · e² · (e − 2) = л(e− 2)e²

ページ3:

(2) i. 接線の傾き 法線 点 Qの座標 円でいきます。
▷ 法線の方程式
y = elogxよりy'=e..
=e-=
e
xx
よって,P(e, e)における法線の
傾きは−=-1だから法線の方程式は
e
y-e=-(x-e)
∴y = -x + 2e
▷ 点 Q の座標
y=-0+2e=2e ∴Q(0, 2c)
▷ 円C2 の半径
PQ = √(e− 0)² + (e− 2e)² = √2e
e
-RO
12e
e
P
したがって, C, は中心が (0, 2e)で半径が√2eの円だから
x²+(y-2e) =2e2

ページ4:

(2)ii.(弧 PR とx=eとx軸とy軸で囲まれた部分の体積=Vとする)
- ((1)で求めた Vi)でいきます。
▷ ikŋ x²+(y−2e)² = 2e²
よって
y-2e = ±√√2e² - x²
:: y = 2e −√2e² - x² (*: x ≤2e\)
V₂ = √л· y² dx
= π √ (2e − √2e² − x² ) ² dx
- -
= π √ (4e² − 4e√2e² − x² + (2e² − x²))dx
-
= 7 √ f² ( 6 e² − x² - 4 e√ 2 e² − x² )dx
√a² - x²
x = √esin 2
10
e
CD
12e
R
e
P
ここだけ計算してみます
dx = √ecos.de
π
x:0e/0:0→
⇒ x= a sin
π
±ɔT √ √2e² – (√Zesinə)² · √Zecosodo
=
=
=
π
√
π
√2e√1-sin² 0√2ecos ede
√2e² cos² Odo
1+ cos 20
2
-de
·√(1+ cos 20)do
1
=e0+ sin 20
π
= +¦²
2
次ページへつづく･････

ページ5:

つづき
V₁ = √(6e² - x²-4e√2e² – x²)dx
π
=πT
x
兀
-π×4еx(+ − ) e²
4
= л(6e³
3
11
2
3
= −е³л² +
したがって, 求める部分の体積Vは
V = V₂-V₁
11
=(-e'x² + e'x)-(-2)²
3
8 3
= − e ³ π ² + — e ³ π+2е²л
3
マジモウムリ･･･
* 古い Word の性質上, πeをe”と表記しました_(._.)_