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2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学 @Akagi
X 問題
X6 等差数列{a}があり, α5=16,q=31である。また,数列{b,}
は,b=1,6m+1=26+1 (n = 1,
(1)数列{a}の初項と公差を求めよ。
(2)6, n を用いて表せ。
2, 3, …)を満たしている。
(3)数列{a},{b,}の少なくとも一方に含まれる数を小さい方から順に
並べてできる数列を{c,}とする。 ただし, 数列{a}と数列{b,}に含
まれる共通な数は,数列{c,}において1つの項とみなす。 このとき,
40
Σck を求めよ。
k=1
(配点 40 )
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自学@Akagi
~ 数列~
(1)〖等差数列〗
as=16,ao=31 / b =1, bm+1 = 26„ +1
数列{a}の一般項を
an=a,+(n-1)d (初項 α, 公差d)
とする。
a5 = 16
a10
②-①
より
a + (5-1)d = 16
=
31
より
より
これと① より
a + (10-1)d = 31
5d=15
: d=3
a + 4x3 = 16
・①
2)
a₁ = 4
答 初項4 公差3
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(2) 【特殊解型の漸化式】
数列{6}: b=1, bm+1
=
=26m +1
・③
n
特性方程式 ③の特殊解をαとすると
よって, ③を変形すると
b.
bw+1 +1 = 2(b, +1)
bm+1=d" とおくと
n
a = = 2α +1
∴α = -1
dm+1=2d, d =1+1=2
よって,数列{d}は初項 2, 公比2の等比数列だから,その
一般項は
d" =2x2"-1 = 2"
元に戻すと
n
b+1=2"
したがって
b, =2"-1
n
答 b =2"-1
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(3) 【ワケワカメな数列 】 とにかく書き出そう ▷ 準備 (1)より a, = 4+(n-1)×3=3n+1 -> 4,7, 3で割って1余る数 aa2 (2)より bm = 2"-1 →1,3,7, 15, 31, 63, 127 40 121 a 40 オーバー a2=b3=7とα10 = bs=31の二つは重複。 ▷ よってΣck = (a,+a2+..+α36)+(b, +b2+ba +66) k=1 等差数列の 和の公式 = 36 2 計40個 (a,+α36)+(1+3 +15 +63) =18(4+109) +82 =2116 答 2116
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