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164 第5章 指数関数と対数関数 第1節 指数関数 1 指数の拡張 αの累乗 α については, 指数nが正の整数の 場合を学んでいる。 ここでは,指数の範囲を整数, 有理数, 実数と 順に拡張していこう。 A 0や負の整数の指数 指数 個 a=axax.. ・Xa mnを正の整数とするとき、次の指数法則が成り立つことは、既に 数学Ⅰで学んでいる。 1 = a² 第1節 指数関数 165 0や負の整数を指数とする累乗を前ページのように定義すると, a≠0, 60 のとき, 指数法則1~3は,m, nが整数のときにも成り立つ。 例えばm=5,n=-2 の場合について, 指数法則1~3が成り立つ ことが、次のように確かめられる。 1 a5a²=a³× a² =a³=a5+(-2) 2 (a)-2- 1 = (a5)2 1 5x2 =α- (5×2). =a5x(-2) 1 3 (ab) 1 1 (ab)2 a2b2 1 × a² 62 =a-26-2 また、指数法則1を用いると 10 1 a"a"=a"+" 2 (a)" an 3(ab)"=a"b" 法則が成り立つように,αの累乗の意味を定めよう。 指数法則1が,整数の指数について成り立つとすると,例えば a0 とする。このとき, 指数が0や負の整数の場合にも,上の指数 am an 1 a" =am x =a" Xa"=am-n 更に、指数法則3と2を用いると 10 m=3, n=0のとき a³aº=a3+0=a³ ゆえに α=1 (c)"=(ab-'"=a"(b-'"="6"-a" 指数関数と対数関数 数 br 以上のことから, 次の指数法則が成り立つ。 15m=3, n=-3のとき 'a-3=3+(-3)=q=1 ゆえに α-31 3 そこで, 0 や負の整数を指数とする累乗について,次のように定める。 指数法則 06=0で,m, nが整数のとき a≠0 で, n が正の整数のとき α=1, 1 a"= 1 ama" =am+n 15 an 2 (am)=an am1 3 (ab)"=a"b" すなわち α°=1, a1= 1 1 1 a' a², a_n= an 1' Fam-n an a a" 問1 次の式を計算せよ。 (1) a¯4a5 (2) (a2) (3) (ab)² (4) a²÷a³ 次の式を計算せよ。 (2) 2-3= 1 1 23 8 このままで ↓ 練習 2 (5) 0.2-2 20 (1) a³a 例 1 (1)5°=1 20 練習 次の値を求めよ。 1 (1) 4° (2) 3-2 (3)10-3 (4) (-5)-3 1000 125 10.04 (2) (α-3)-1 (3) (ab-1) aa
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166 第5章 指数関数と対数関数
6
B 累乗根
n を正の整数とするとき 乗すると αになる数, すなわち
となる数xをαの乗根という。例えば
2'=16, (-2)^=16であるから, 2と2は16の4乗根
(3)243であるから,-3は243の5乗根
である。 2乗根 3乗根, ・・・・・・を, まとめて 累乗根という。
の証明
(Vav6)"= ("a"(V6)"=ab
ここで,a>0,760 から
よって
Vab=ab
√√√√b>0
第1節 指数関数 167
指数法則を用いて、前ページの性質2~5を証明せよ。
( ) 3612=1/6×12=12×3=1F VF =2V9
(2)√3/64=2×3/26=26=2
(3)/27=33=2×3/31×3=√3
正の数an乗根のうち, 正であるものについて考える。
右の図からわかるように、 正の数αに対し
て, x=a を満たす正の数xがただ1つ定ま
ya
y=x"
a
(x≥0)
次の式を簡単にせよ。
10 る。 これを で表す。
(1) 92 (2) 28 (3)
250
3/2
(4) 729 (5) 5/16
また,500 である。
0
【注意】 はこれまで通りで表す。
wa
例
2
(1/64=4=4
(2)/81=3=3
(
15
練習
次の値を求めよ。
3
(1)/343
(2) 5/32
(3) 0.0001
>0のときは次の2つの条件を満たすただ1つの数である。
(a)"=a,
n/a>0
このことから, 累乗根について次の性質が導かれる。
20
累乗根の性質
有理数の指数
a=0,6=0で,m, nが整数のとき, 指数法則
1 ama"=qm+n
2 (am)=amn
3 (ab)"=a"b"
が成り立つことは, 165ページで学んだ。 ここでは、指数が有理数のと
きにも、指数法則が成り立つように, 正の数αの累乗を定義しよう。
(a)=ax3=a2
指数法則が, 有理数の指数についても成り立つとすると,例えば
となるから
a¹³=√a²
axat=a計=a=1
となるから
1
a =
a3
40,6>0で,m,n, pが正の整数のとき
指数関数と対数関数
Cobab
1 "ab="ab
2
Va
6 V6
a
3 (a)"=√a"
4m/wa=mn/a
5 "a" = "hamp
そこで,指数が有理数である累乗について,次のように定める。
a>0で,m,nが正の整数が正の有理数のとき
a=√a
a
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20 5 3 第5章 指数関数と対数関数 例 4 (1) 273-3/272=(27)²=32=9 (2) 8-1-1-1/8/2 次の式を計算せよ。 位 (1) 節 指数関数 169 = (4) √a³×√a 練習 5 次の値を求めよ。 (1) 42 (2) (3)19x927 (5) √a÷√axa (2)125 5 (3) 25- -25 D 無理数の指数 前ページのように指数が有理数である累乗を定めると指数法則 1~3は,指数が有理数のときにもそのまま成り立つ。 例えば,2=1,4142 に対して 指数が無理数のときにも、累乗の意味を定めることができる。 指数法則 の列 31 31.4, 31-41, 31-414, 31-4142 ...... は, a0b>0で,r, s が有理数のとき 1 a'a"=a*** 1' a' -=a~* a" 2 (a)=a" 3 (ab)'=ab a 3' 10 [br] 対しての値が定められる。 2 a>0,b>0のとき,例えばr=- S= 3.S 2 1 の場合について, 指数法則 前ページの指数法則は, 指数が実数のとき 右のようになり、次第に一定の値に近づいて 3¹ =3 314 4.655536... 31.41=4.706965･･･ いく。 その一定の値を 32 と定める。 3-41=4.727695・・・ このようにして,a0 のとき,実数xに 31.4142-4.728733.. にもそのまま成り立つ。 指数関数と対数関数 5 1,2,3が成り立つことが,次のようにして確かめられる。 1 a'a'=aša²=√a² √a=√√√a³=√a (a)=(a)==(Va)=ya a=a*=a³=√a 3 (ab)=(ab)=√(ab)² = 3√ a²b² = 3√ a² ³√ b² a'b'=a³b¹³=√a²√b² 1 (1) (az)³×a±a=a²×a×=a²×a×a¯¹=a²¼¯¹=a³ a (2)x625=5kx(5)1d=53x53=53+3=5'=5 終 研究 負の数の乗根 15 nが正の奇数のとき 右の図からわかる ように 負の数 α に対して,x" =αを満た す負の数xがただ1つある。 これも |は正の奇数 で表す。 例えば Na 10 x -27=(-3)=-3 20 g-32=(-2)= =-2 a y=a nが正の偶数のとき 常にx"≧0である から 実数の範囲では、負の数αのn乗根は存在しない。
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■第5章 | 指数関数と対数関数 2 指数関数 一般に、指数関数y=αのグラフは,次のようになる。 第1節 指数関数 171 ここでは、指数関数の特徴を調べよう。 A 指数関数のグラフ a>0, a≠1 とするとき, y=ax は xの関数である。 関数 y=α を、 5a を とするxの 指数関数という。 2 を底とする指数関数 y=2" のグラフについて考えてみよう。 例えば, x=0, -0.5 1.5 のときの2の値は,次のようになる。 1点 (0,1), (1, α) を通り, x軸を漸近線としてもつ曲線である。 2 >1のとき右上がりの曲線, <a<1のとき右下がりの曲線である。 a>1 y=ax y=a YA 0<a<1 L 1 act =② 1 1 1 a a -10 1 x -1 0 1 x 第5章 指数関数と対数関数 20-1, 2-0.5=2-=- 1 √2 2 2 ≒0.71, 21.5=22=2√2=2.83 同様にして, xのいろいろな値に対する 2* の値を求めると,次の表 10 のようになる。 7 X -2 -0.5 -1 -1.5 0 0.5 1 1.5 2 0.25 2x 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4 このようにして, y=2* において 次の関数のグラフをかけ。 (1)y=3x から (2)y=(1/2)m y y = 2 9 xのいろいろな値に対応するyの値 8 15 を求め,それらの値の組 (x, y) を 座標にもつ点を座標平面上にとって 17 B 指数関数の性質 グラフからわかるように、指数関数y=a* には,次の性質がある。 指数関数y=αの性質 1 定義域は実数全体, 値域は正の数全体である。 6 いくと,それらの点は右の図のよう 10 2a>1のとき xの値が増加するとyの値も増加する。 5 な曲線上にある。 4 この曲線が 指数関数 3 20 y=2x 2 1 のグラフである。 p<a a" <a 0<a<1のときxの値が増加するとyの値は減少する。 p<g⇔a> 【注意】 a>0, a≠1 のとき 「b=g⇔ a=α」 が成り立つ。 問3 指数関数 y=( =(1/2)のグラフ 3-2-10 1 2 3 は,y=2x のグラフとy軸に関して対称であることを示し,そ のグラフをかけ 15 練習 7 (1) の y=3* のグラフと前ページのy=2"のグラフは,x < 0,x>0の範 深める 囲においてそれぞれどのような位置関係にあるかを説明しよう。
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172 第5章 指数関数と対数関数 第1節 指数関数 173 例1664 の大小 次の方程式、不等式を解け。 6 16,764 を それぞれ2の累乗で表すと 5/16/2=25 V/64=1/26=2 (1) 8*=4 (2) 32x-1=243 9 (4) 2*-32<0 (5) (1) (3) 25-5-* S 16 4 6 関数 y=2* の底2は1より大きく、 < 5 7 であるから 25 <2% 5 応用 題 (1) 4x-2x+1-8=0 5/16/64 すなわち 練習 次の数の大小を不等号を用いて表せ。 8 1 /1 (1)/3/9/27 (2) V2'V4'V8 次に, 指数関数を含む方程式や不等式を解いてみよう。 (1) 解 次の方程式、不等式を解け。 (1) 方程式を変形すると xt とおくと, t>0であり、方程式は よって (2) 9-8.3-9>0 (2x)2-2-2-8=0 t2-21-8=0 (t+2) (t-4)=0 t>0であるから 10 例題 次の方程式, 不等式を解け。 1 ゆえに (1) 9'=27 (2) 2*-1≤8 ...(+)<(1) (8) t=4 24 すなわち 2=22 よって x=2 解 (1) 方程式を変形すると 32x=33 よって 2x=3 (2) 不等式を変形すると *=t とおくと, t>0であり,不等式は (3x)-8.3x-9>0 これを解いて x= 3 2 2-8t-9> 0 (2) 不等式を変形すると 2x-1≤23 底2は1より大きいから x-1≦3 これを解いて x≤4 よって t+1>0であるから t-9>0 すなわち t>9 ゆえに 39 すなわち3>32 底3は1より大きいから x>2 (t+1)(t-9)>0 (3) 不等式を変形すると 14. (+)<(7) 底/1/1は1より小さいから2x<x+1 これを解いて x<1 練習 10 次の方程式, 不等式を解け。 (1)32x-31-54=0 (3) 4-7-2*-8>0 指数関数と対数関数 (2) 2・4'-5・2*+2=0 (4)()+5.(-2<0
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