三平方の定理と問題

三平方の定理三平方の定理の利用

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てんと

中学3年生

三平方の定理、定理を使った問題の解き方、三平方の定理の証明

2025.12.15 公開

三平方の定理三平方の定理の証明

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ノートテキスト

ページ1:

三平方の定理
三平方の定理とは
直角三角形において、
直角をはさむ2辺la,b)の長さをそれぞれ2乗して足し合わせると、
斜辺(c)の長さを2乗した値と等しくなる
· a²² + h² =
ポイント!!
斜を必ず「C」と
考える
三平方の定理を使った問題
xの値を求めよ
(1)
C
xcm
3cm
(2)
a+b
=
2cm
a² + h² = c²
42+32=x2
5cm
a4cm
16+ 9 = x²
a
25+50
(長さ)が「」
おかしい(「+」のみ)
25 = x²
x=25
x=15
b52cm
なので
x = 5cm
52+15F)=x2
75
=
x²
x=75
2 ==√75
大=15回
九つ。より
21=5cmp
(3)
11cm
&
13cmc
a
xcm
a² + b² =
12/+x+
=
132
169
x = 48
x=148
x = 143
70より
x=4cm

ページ2:

代表的な直角三角形の辺の比
(2.
①
450
三平方の定理に入れると
となる
Da
⇒
a:b: c
= 1 = 1 = √
30
C
60°
ba
①a
tを使った問題
ポイント!!
川
①の形
@xcm
45°
=>
三平方の定理に入れると...
2=
+13
a:
h =
C
= に
= 2
dを考えると
=2:x
ポイント!!
(2)
①の形
1:1
14cm,
比を考えるとにな
xcm
1=x:4
FX=4
① 2cm
つい
=2
2√20m
ポイント!
ポイント!
(3)
の形
(4)
比を考えると12
(5)
(6)
②xcm
J60°
①2cm
ポイント!!
②の形
4cm
Lem
12=2:x
x=4cm
比を考えると2:1
1600
2:13
=
4:x
2x=
45
x = 2BR
30°)
Xcm
4cn①
=
4
2
↓有理化
2√2.
C.m
比を考えると
に
2
=
4:x
43cm
AABCは正三角形である
△ABCの面積を求めよ
4cm
ポイント!!
②の形 正三角形より14cm1角600
・高さて、
知りたい
本
B
600
4cm
②
2:=4:
23
401
4×2×1/2
41cm²
2x = 4√3
4cm
x = 2√3

ページ3:

三平方の定理の証明
証明①
b
a
J
左のような図形で全体の面積を考える
考え方川
1辺athの正方形
=> 5 = (a+b)
証明!
B
a
考え方 (2)
青の正方形
と赤の三角形 4個の合計
=> 5 = c
= C² +
(axbx1/2)×4
S = C² + 2ah
⇒ (a+b)² = c²- zah
a² + zal h² = c² + zale
ath = c+2ah-2at
a²+ b² = c²
C = AH+BH
のAH、BHを求める
△ABCとACBHは相以
a
C
.
b
A
B
C
B
a
C:a=a:BH
CXBH=az
BH. = a²
△ABCと△ACHは相以
B
a
C
し
h
C=h=h=AH
CXAH=b
·AH = h
C=AH+BH.
a
C
C
C
2.xc
C² = b² + a²
a²+b² = c²