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令和7年1月進研記述高1模試@自学 3 2次関数 f(x) = x2-2(a-1)x+22-7がある。また,y=-x2 のグラフをx軸方向にa, y軸方向に2a2+2a-24 だけ平行移動した グラフを表す 2次関数を y=g(x)とする。 ただし, αは定数である。 (1) y=f(x)のグラフの頂点の座標をαを用いて表せ。 (2) すべての実数xに対して, f(x)>0かつg(x) <0となるようなa の値の範囲を求めよ。 (3)x≧0を満たすすべての実数xに対して, f(x)>0かつg(x) < 0 となるようなαの値の範囲を求めよ。 (配点 20)
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CAkagi
2
f(x) = x²-2(a-1)x+2a² -7
(1) f(x) = x² - 2(a−1)x + 2a² − 7
= {x² - 2(a− 1)x + (a− 1)² }− (a− 1)² + 2a² − 7
= {x − (a−1)}² − (a² − 2a+1)+2a² −7
-
= {x − (a−1)}² + a² +2a−8
-
(a−1, a² +2a-8) #
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(2) 確認
f(x)={x-(a-1)}+α² +2a-8 頂点(a-1, a2+2a-8)
og(x) = -(x-a)2 +2a² +2a-24 頂点(a,2a2+2a-24)
⑦: f(x)>0 ⇔ 頂点のy座標が正 ⇔
①: g(x)<0 ⇔ 頂点のy座標が負 ⇔
a²+2a-8>0
(a-2)(a+4) > 0
a <-4, 2 <a
2a² +2a-24 < 0
q^ + α -12 < 0
(a-3)(a +4) <0
-4<a<3
よって、かつとなるようなαの値の範囲は2<a<3
-4
①
2
3
a
ページ4:
(3)確認(軸に着目) of(x)>0(x≧0) 軸:a-1 → 最小値 (m) が正 og(x) <0(x≧0) 軸 : α → 最大値(M)が負 ア 0より小さい aが ① 0以上1未満にわけてみる。 1以上 ア a<0のとき √14 √14 m = f(0) = 2a² -7>0 :. a < <a 2 2 √14 条件より a< ......(a) 2 M = g(0) = a² +2a-24 < 0 : -6<a<4 …………(b) √14 (a)かつ(b)より -6<a< 2 ① 0≦a<1のとき √14 √14 m = f(0) =2a2-7 > 0 ∴a< a 2 2 条件を満たさないから不適。 ⑦ 1≦a のとき,(2)より 2< a <3
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