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2月高校2年進研共通テスト模試 @自学 第2問 (配点 30) 〔1〕 飲料メーカーAは,販売店 Bとの取引の際, 取引の数量に応じて 商品Cの取引価格を変化させている。 これを知った太郎さんは,メ 一カーAと販売店Bとの取引における商品 Cの (取引の数量)と (取引の価格)との関係について, 過去のデータを調査し,下の調査 結果のようにまとめた。以下,(取引の数量)を x (L), (1Lあたり の取引の価格)(円)とする。 【調査結果】 I xtを図1のように表した。 xtのデータを表す6つの点 (x,t)は2点P (55, 175), Q(70, 150) を通る直線付近 にすべてあることがわかる。このことから, xtの関係を,図 2 のような 2点 P, Q を通る直線Aを表す 1次関数と考える。 ただし, x, tは正の実数とする。 180 170 取 160 1Lあたりの取引の価格円) 150 格 140 円 130 P. 40 50 60 70 取引の数量(L) 図 1 8 _P (55,175) ■Q (70,150 ) 図 2 x Ⅱ商品Cの製造費用をαx (円)とする。 ただし, αは正の実数と する。
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以下,次のような方針に基づくものとする。 【方針】 Ⅲ 商品Cの在庫の管理上、 (取引の数量) x をx≦85 とする。 ⅣV 販売店 B は、 商品Cの (1Lあたりの取引の価格) t を抑えたいので, t≦180とする。 調査結果のIより,直線Aは2点P (55,175), Q(70, 150)を通る アイ から, tはxを用いて t = (x-160) ウ と表される。また,これと方針より, xのとり得る値の範囲は である。 エオ≦x≦85 ① この取引でメーカーAが得る利益(以下, 利益)をy (円)とし,次の ように定める。 ただし, yは実数とする。 (利益) = (1Lあたりの取引の価格) × (取引の数量) - (製造費用) すなわち, y=txx-axと仮定し, y を x, a を用いて表すと である。 アイ カ y= -x x -160+ a ウ キ
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20 (1) a=- のとき, yはx=ク で最大となり,その最大値はケ 3 である。 ク の解答群 O 34 ① 49 ② 58 ③ 78 ケ の解答群 0 9800 ① 10140 12010 13800 (2)②のグラフの頂点のy座標をmとする。 mをαを用いて表すと コサシ 2 3 m = a 20 ス である。また,①のxの範囲において, yの最大値がmであるよう なαの値の範囲は 0 セ である。 セ の解答群 110 280 310 O 30 ① ② 50 ③ ④ 3 3 3
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自学© Akagi 第2問 〔1〕 関数 x≦85, t≦180 ■ 直線A (t=ax + b とおく)は, 2点P(55,175) Q(70, 150)を 通るから J175 = よって 175=55a+b 150 = 70a + b , 5 800 .. a b = 3 3 5 800 5 t x+ (x-160) 3 3 3 5 これとt ≦180より 3 よって 800 x+ ≦180 ∴x≧52 3 52≦x≦85 y = tx - ax = ( 5 800 -x+ 33 x-ax=-- x x - 160 + 5 3 …① 3 a ② 5
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(1) a = 20 のとき,②は 3 5 800 20 5 780 y x2 + x x=- 2 x^+- X 3 3 3 3 3 5 (x-78)+10140 3 これは,上に凸の放物線で, 軸が①の定義域に入っているから x=78で最大となり,その最大値は10140。 (2)②を平方完成すると 5 800 ← -> = 5 2 -x+ x- - ax = -- x^ + 3 3 800-3a 3 x 2 5 800-3a 5 (800-3a)² --- x +-x 3 10 3 102 頂点のy座標を整理すると 59a2-4800a + 640000 m=-x 3 100 3 32000 2 = a² 80a+ 20 3 3 1600 640000 2 = + 20 3 9 2 3 800 = a 20 3 800-3a 軸: x = 10 -が①の範囲 52 ≦x≦85に入ればyの 最大値がmになるので 800-3a 52 ≦ 85 ∴ 520 ≦ 800-3a≦850 10 a>0より ∴-280 ≦-3a≦50 50 280 :: 3 3 280 0<a≤ 3
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