【高2数Ⅲ】数列の極限④〜はさみうち・追い出しの原理〜

数列の極限

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

高校全学年

▷ 基本自学

2026.03.14 公開

数ⅲ はさみうちの原理赤城数3 数３数学3 数学３数学Ⅲ

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ノートテキスト

ページ1:

はさみうちの原理と追い出しの原理
【はさみうちの原理】
limb = lim c = a ならば
n
n
n→∞
n→∞
十分でっかいnにおいてb, ≦ an≦cm のとき
lima = a
n→∞
n
※ αに極限が存在し、
n
その値がαである
【追い出しの原理】
十分でっかいn において a b のとき
≦b
n
liman
=8 ならば
lim bn
=8
n→∞
n→∞

ページ2:

基本問題自学 ©Akagi
7 次の極限を求めよ。 ただし、 日は定数とする。
1 NTT
(1)
lim-cos
non
4
sin 2n
(2) lim.
n→∞n2 +1
k,
⑧ 自然数nに対して3” の桁数をk で表すとき、 lim"を求めよ。
9 次の極限を求めよ。
(1) lim1+
n→8
n
1
1
1
n
√3
√n
(2) lim
n→∞ 3"
non

ページ3:

自学 © Akagi
1
7(1) lim -COS
non
NT
を求める。
4
nπ
-1 cos
4
nπ
COS
1であるから、 辺々にーをかけると
1 1
--
n
1
nn
4
n
1
NT
1
ここで、lim
COS
=0,
NT
lim
- COS
= 0
n→∞
n
4
n→8
n
4
1
NT
よって、はさみうちの原理により
liml
COS
= 0图
n→∞ n
4
sin² no
(2) lim
を求める。
2
n→∞
n+1
0≦sin2n0≦1であるから、辺々に
1
をかけると
2
n² +1
ここで、lim
2
1
n→∞ [n] +1
sin2n0
n² +1
2
1
n² +1
=
:0
sin2nθ
よって、はさみうちの原理により
lim
n→∞n+1
=
20

ページ4:

8
lim"を求める。
non
3”は
'n
10km-l≦3" <10km
と表せる。
辺々に自然対数(底 10> 1)をとると
logo 10k-1≦logio 3" <logio
∴.k, -1≦logio 3" <kn
10km
k„について整理するとnlogo 3 <k, ≦nlogio 3 + 1
k
logo 3<log10 3+
辺々をnで割ると
10g10
ここで、lim log10 3+
n
n→∞
n
1
n
|=logo 3だから、はさみうちの原理により
10g10
k_
'n
lim =log10 3
n→∞n

ページ5:

9 (1) lim 1+
1
n→∞
VII
ード
一
-
+
1
+
1
1
を求める。
1
VII - 15
√√2
1
+
x n = lim√n
VII
+
vn=8
1
xn
1
+
√n
ード
VII
ード
ここで、
lim
n→∞
n→∞
n
よって、追い出しの原理により
1
1
lim 1 +
n→∞
√√√√√3
+
+
+
=∞
より

ページ6:

n
9(2) lim
を求める。 ※二項定理とはさみうちの原理のコラボ
n→∞ 3"
n≧2でh>0のとき、二項定理により
(1+h)" =,Ch°+,C,h'+,C2h2 +…+,C,h"
n(n-1)
=1+nh+ - 1) h²
h=2のとき
2
-h² + ·+h"
2.1
第4項以降は正
n(n-1)
2
≧1+ nh +
h² (h>0, nCr>0)
2.1
n(n-1)
(1 + 2)" ≧ 1 + 2n +
22=2n² +1
2
3">2m²
逆数をとると
1
0< <
1
3" 2n2
辺々にnをかけて
n
1
0
3"
2n
1
ここで、 lim
n→∞ 2n
=0だから、はさみうちの原理により
n
lim
n→∞ 3m
= = 0 劄