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無限等比級数の収束・発散 無限等比級数 8 n-l ar = a + ar+ar² + · + ar²-1 +... (rは公比) (1) n=1 a = 0 のとき 収束して和は0 (2) a = 0 のとき -1<r<1 a ならば収束し、 和は 1-r r≦-1, 1≦r ならば発散する
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基本問題自学 ©Akagi ⑤ ある無限等比級数の和が-4 で、 その第2項が3である。 この無限 等比級数の初項と公比を求めよ。 1 6 初項 1, 公比の無限等比級数について、 その和 Sと初項から第 n 3 1 n 項までの部分和 S の差が、初めて -より小さくなるような自然数n 1000 を求めよ。 77 平面上で,点Pが原点 0 から出発して、 x軸の正の方向に1だけ進み、 次にy軸 2 23-1 23 123 23 の正の方向にだけ進む。 以下、x軸 3 ( の負の方向、y軸の負の方向、x軸の正 の方向、......と向きを変え、 それぞれ 2 2 3 ( ・(() ・・・・・・を限りなく続けるとき、 ' 点Pの極限の位置の座標を求めよ。 >
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自学 © Akagi 5 初項をα (≠0), 公比をr(−1 < r ≦1) とする。 ○和が-4で収束するので a₁ -4 1 r ○第2項が3だから ..a =-4(1-r) ① a2 = axr=3...... ② ①,②を連立方程式として解くと-4(1-r) 3 -- r ∴.4m²-4r-3=0 ...(2r+1)(2r-3)=0 -1 <r ≦1より このとき, ①より r = 2,=3+(-1/2)=6 ÷ 1 2 1 よって, 初項は-6,公比は一 である。 圏 2
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自学 © Akagi 6 初項 1, 公比 -の無限等比級数 3 ○和 a 1 3 S = -r 1 2 3 n 1 n ○部分和 S a(1-r") 3 3 3/1 = n 1-r 1 2 23 3 n n 3/1 3 1 よって、 SS = だから n 23 23 1000 1 1 2 x 3"-1 1000 ...2x3"' > 1000 ... 3-1 > 500 ※ 3 = 243,3°=729だから、※を満たす最小の自然数は n-1=6 すなわち n = 7
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自学©Akagi
y
O点Pのx座標は 1-
('+(-)+
4
O
23
123-
これは初項 1、公比−の無限等比級数で、 公比が-1より大きく
9
1以下だから収束し、その和は
a₁
1-r
9
1
=
4
13
1
9
2-(+)-(3)+
5
+:
O点Pのy座標は
2
4
これは初項二、公比-の無限等比級数で、 公比が-1 より大きく
3
9
1以下だから収束し、その和は
2
a
3
6
1-r
4
13
9
6
したがって、点Pの極限の位置の座標は
13
13
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