ページ3:

●Y1 確率(自学 Akagi)
(2) y=-x+1
-2x+1
3
xもyも1から6までの整数だから,これを満たす組は
(x, y) = (3,2), (6,3)
ア (x, y) = (3,2)のとき
(大,中, 小 ) = (3,2,2),(3, 1, 2),(3,2,1)
1
+
1
1
3
+
=
216 216 216 216
イ (x, y) = (6,3)のとき
***
(大,中,小) =
(6,3,3),
(6,1,3),
(6,3, 1),
(6,2,3)
1
1
1
1
1
(6,2,3)
5
+
+
+
+
=
216
216 216 216 216 216
アとイは互いに排反だから, 求める確率は
3
5
8
1
+
=
=
216 216 216 27

ページ4:

Y2 太郎ちゃんと花子さんのクラスでは, 数学の授業で次の問題について
考えている。
問題 xの2次方程式x²-2x+4m-3=0 … ①が異なる2つ
の正の実数解をもつような実数の定数mの値の範囲を求めよ。
太郎: f(x) = x2 -2mx+4m-3とおいて, 関数 y=f(x)のグラフを
用いて考えてみよう。 ①の実数解は,y=f(x) のグラフとx
軸の共有点のx座標とみることができるね。 mに具体的な値
を代入して調べてみよう。
花子:m=4の場合, y=f(x)のグラフの概形は A のように
なるから, m=4は問題の求める範囲に含まれる値であるこ
とがわかるね。
太郎 : では,問われた定数mの値の範囲を求めてみよう。
一般に, 2次方程式g(x)=0が異なる正の実数解をもつ条件
を,関数y=g(x)のグラフを用いて考えてみよう。
花子: A のグラフも参考に考えると, y=g(x)のグラフが下に凸
のとき,2次方程式g(x)=0が異なる2つの正の実数解をも
つために必要な条件は
「y=g(x)のグラフの頂点のx座標が (ア) かつy座標が
(イ) であること」だね。
太郎: ちょっと待って。 y=g(x) のグラフの頂点のx座標が(ア)
かつy座標(イ) であっても, g(x)=0が異なる2つの
正の実数解をもたない場合があるよ。 花子さんが言った条件
の他にも条件が必要だね。

ページ5:

|(1)(i)
A に当てはまる最も適当なものを, 次の1~6のうちから一つ
選び,番号で答えよ。
1
4
Ax
y₁
2
y
3
y
0才
ou
0x
y↑
5
6
No
x
X
(ii)
(ア)
(イ) に当てはまる組み合わせとして
(ア)
(イ)
正しいものを,右の1~4のうちから一つ選び、番
1
正
正
号で答えよ。
2 正 負
(Ⅲ)下線部に当てはまるものを,破線部
1~6のうちからすべて選び, 番号で答えよ。
内の
3負正
4 11 負
(2)問題を解け。

ページ6:

(1)(i) =4の場合
y=f(x)=x2-2.4x + 4.4-3
=x2-8x+13
軸: x=4
=(x-4)2-3
頂点: (4, -3)
切片: (0, 13)
6
O
XC
(ii) g(x)=0が異なる2つの正の実数解をもつために必要な条件は
「y=g(x)のグラフの頂点のx座標が正かつy座標が負」
(Ⅲ)下線部にあてはまるものは
4
y
NO
48
軸が正
5
異なる2つの実数解
x
XC

ページ7:

(2)
▷ 頂点のx座標が正より
▷ 頂点のy座標が負より
y=f(x)=x2-2mx+4m-3=(x-m)2-m²+4m-3
頂点: : (m, -m²+4m-3)
m>0
-m²+4m-3< 0
①
m²-4m+3> 0
判別式が正
(m-1)(m-3) > 0
でもおk
m<1,3<m .....
▷y切片が正より
f(0) =4m-3> 0
3
m
....
4
イ, 日, 人の共通範囲が解だから
3
- <m<1, 3<m答
4
0
3
1
4
●おしまい
口)
m
3
①

ページ8:

Y3 関数 f(x)=-x+5x がある。 座標平面上の放物線y=f(x) をCと
する。 また, C上の点A(1, 4), B(t, f(t))におけるCの接線をそれぞ
れl, m とする。
(1) f'(1) の値を求めよ。 また, lの方程式を求めよ。
(2)mの傾きが-1のとき, tの値を求めよ。 また,このとき, C, l およ
び直線x = tで囲まれた部分の面積をSとする。 Sを求めよ。
(3)(2)のとき, C の x ≧t の部分と直線y=4, および直線で囲まれた
部分の面積をT とする。 また, Cと直線l, mで囲まれた部分の面
積をTとする。
の値を求めよ。
T
Akagi
(配点 50 )

ページ9:

(3)
Bの座標を求めると
(3,6)
mの式を求めると
:
y-6=-(x-3)
y=-x+9
lとの交点を求めると
y=3x+1
ly=-x+9
..(2,7)
y=4-
T2
T,
m:y=-x+9
Cとy=4の交点を求めると
Jy=-x²+5x
ly=4
(x-1)(x-4)=0
x=1, 4
∴ (1, 4), (4,4)
mとy=4の交点を求めると
|y=-x+9
y=4
∴ (5,4)
0
1 2
4 5
l:y=3x+1
C:y=-r +5x
ちょっと変だけど
お絵かきすると
上のようになる
x

ページ10:

Y3 微分法と積分法(自学 Akagi)
C: y = f(x) = x² +5x A(1, 4) B(t, -t² +51)
(1) f'(x)=-2x+5より
f'(1)=-2+5=3
ℓは傾きが3で点 A (1, 4)を通るから
y-4=3(x-1)
.. y=3x+1
(2)
f'(t)=-2t+5で, f'(t) = -1より
S = √³ {(3x+1)− (−x² + 5x)}dx
= f(x² - 2x + 1)dx
-2t+5=-1
t=3
=
=
+ X
= (9-9+3)-(-1+1)
8-3
==

ページ11:

m: y=-x+9
三角形の面積からくりぬく
(3) T₁ = 2 × 2 ÷ 2 − ſ¸ª {(−x² + 5x) − 4}dx
5
= 2
x +
-x²
-
4x
3
2
-
y=4.
=-2- {(-644-80-16)-(-27 +45)-12}
5-6
==
3
+
3
T₂
T₁
0 1 2
$
4
5
l: y=3x+1
C:y= -x +5x
T₂ = √² {(3x + 1) − (−x² + 5x)}dx + ſ₁ {(−x+9) − (−x² + 5x)}dx
= f² (x² − 2x + 1)dx + f (x² − 6x+9)dx
-
- -
·x² + x
+
-3x²+9x
3
8
8
+2)− (−−1 + 1) + (9-27 +27)-(--12+18)
=143-42-13-1+
2-3
==
3
(2)を利用してくり抜いた方がはやかった orz
-
2-3
T
したがって
=
T₁
5-6
·|·
答
4-5
=

ページ12:

Y4 座標平面上に, 3点A(a, 0), B (10, b),C(6, 1)があり,
△ABC の重心の座標は (6, -1)である。
(1) a, b の値をそれぞれ求めよ。 また, 直線AB の方程式を求めよ。
(2)中心が第1象限にあり, 直線 AB に点Aで接し,半径√5の円をKと
とする。円 K の方程式を求めよ。
(3)(2)の円K上に点P を, 線分AB 上に点Qをそれぞれとる。 線分 PQ
を1:2に内分する点がCであるとき,点 P, Qの座標をそれぞれ求め
よ。
Akagi
(配点 50)

ページ13:

Y4:図形と方程式(自学 Akagi)
▲ 整理 A(a, 0),B(10, b),C(6, 1) 重心(6, -1)
(1) △ABC の重心の座標は(
a +10 +60 +6 +1)
=
(a+16,b+1)
3
3
3'
3
a +16
b+1
これが (6, -1)と等しいから
=6,
= -1
3
3
よって
a=2, b=-4答
また, A (2,0), B (10, -4) を通る直線の式は
-4-0
y-0=
-(x-2)
10-2
1
y=-=x +1(x+2y-2 = 0 ) 答
2

ページ14:

(2)円Kの中心をMとする。
直線AB と直線AM は垂直に交わり, 直線AM は点 A を通るから
AM: y-0=2(x-2) → y=2x-4
M は直線 AM 上にあるから M(t, 2t-4)
AM = √5 だから
-
√(t − 2)² + {(2t − 4) − 0}² = √5
-
-
両辺を2乗して整理すると
12-4t+3= 0
因数分解して
(t-1)(t-3)=0
t=1,3
t=1のとき M(1, -2), t = 3のとき M (3,2) だけど, M は第1象限
にあるから M (3,2)。
したがって, 求める円の方程式は
(x-3)2 +(y-2)^=5答

ページ15:

(3) P(s,t), Q(X, Y)として,文字を消去していくだけ。。。
▷点Pは円K上にあるから
(s-3)2 + (t-2)^= 5
1
▷ 点 Qは線分AB 上にあるから Y = --X +1
▷ PQ を 1:2 に内分する点がCだから
2
2s + X
1+2
=6,
2t+Y
1+2
- = 1
∴.X = -2s + 18
③と④を②に代入して
Y = -2t+3
- 2t+3= -- (-2s +18)+1
1/2(-2s+18)
∴s = -2t+11
......(5)
⑤を①に代入して
(2t+11-3)2 + (t-2)²= 5
∴.5t2 - 36t + 63 = 0
∴ (5t-21)(t-3)=0
21
.. t =
3
5
13
これらを⑤に代入して
5
よって P(s, t) = (13, 21), (5, 3)
5
~確認~
64
P(s, 1) = (1/22) のとき,Q(x, y) = (24,227)
5 5
5
Xは線分AB 上のx座標だから0以上10以下ぢゃなくちゃ
64
だけど! は 10 以上だから不適。
P(s, t):
=
5
(5, 3)のとき,Q(X, Y) =(8, -3) 答
Xは0以上 10以下だからおk。

ページ16:

Y 5 p,q を実数の定数とする。 x の3次式P(x)=x3+px²+qx-8が
あり, P(x)はx-2を因数にもつ。
(1)g を を用いて表せ。
(2) P(x) を因数分解せよ。 また, 3次方程式 P(x)=0の解がすべて実数
であるとき, pの値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき,3次方程式P(x)=0の3つの実数解をα,β, y とする。
不等式 0² + B2 + 2 ≦ 32 を満たすような a,bの値の範囲を求めよ。
また,この範囲に含まれる最大の整数であるとき,3次方程式
P(x) =0を解け。
Akagi
(配点 50)

ページ17:

Y5:複素数と方程式 (自学 Akagi)
(1) P(x)はx-2を因数にもつので, 因数定理によりP(2) = 0 。
よって
P(2) = 23 + p.22 + g・2-8 = 0
(2)(1)より P(x) = x3 + px2-2px-8
g-2p答
P(x) =0はx-2を因数にもつので,P(x) をx-2でわると余りが0
だから, 組み立て除法により
1
P
-2p
-8 |2
2
2p+4
+8
1
P+2
+ 4
0
P(x)=(x-2){x2+(p+ 2)x + 4}答
また,P(x)=0の解がすべて実数であるとき, 方程式
x 2 + (p + 2)x + 4=0が実数解をもてばよさげ, つまりこの方程式の判別
式をDとするとD≧0となればよさげ。
D≧0より
D=(p + 2)2-4.1・4=p2+4p-12=(+6)(p-2)
(p+6)(p-2) ≧0
したがって
p≦-6, 2≦p答

ページ18:

(3)(2)よりp ≦ -6, 2≦p
P(x) =0の3つの解をα,β, γとする。
解の1つが2だから=2とすると a 2 + B2 + 22 ≦ 32
「全部2乗だから
∴a 2 + β2 ≦ 28
......
どれを2にしても
同じ
ここで,αとβは2次方程式 x 2 + (p + 2)x + 4 = 0 の解だから
解と係数の関係により
[
aβ = 4
a + β = -(p+2)
①の左辺は α ^ +β2 = (a +β)2-2aβ
={-(p+2)} -2.4
= p2+4p-4
よって①は p2+4p -4 ≦ 28
p2+4p-32 ≦ 0
(p-4) (p+8) ≦0
-8≤ p ≤4
したがって, pの値の範囲は p≦-6,2≦p かつ-8≦p≦4
すなわち 8p≦-6または2p≦4答
pがこの範囲の最大の整数, つまりp=4のとき,
P(x)=(x-2){x2 +(4 + 2)x + 4}
=(x-2)(x2+6x + 4)
- 6±√36-16
x 2 + 6x + 4 = 0 を解の公式で解くと x =
=3±√5
したがって,P(x) =0の解は
2
x=2, -3±√√5答

ページ19:

Y6 等差数列{a}があり, a,+a2+ α = 15, a,+ α = 20である。
また, 数列{b,}の初項から第n項までの和をS, とすると,
Sm=n²+3n(n=1, 2, 3, …)である。
(1) 数列{a}の初項と公差を求めよ。
(2) b, を求めよ。 また, b を n を用いて表せ。
1
11
(3)
C, = nb,(n=1,2,3, ...) とする。 を”を用いて表せ。
k=1Ck
また,nを用いて表せ。
k=1
(Ck)2
Akagi
(配点 50 )

ページ20:

Y6: (Akagi)
(1)数列{a}の初項を a, 公差をd とする。
a₁+a+a3 = 15) a₁ + (a₁ + d) + (a₁ +2d) = 15
▷ α 4 + α₂ = 20
5
①,②より α = 3,d=2答
. a₁+d=5
(a,+3d)+(a₁ + 4d) = 20
2a, +7d=20
.....
....②
(2) b₁ = S₁ = 12 +3.1=4%
n≥20 b = S - S-1
n
= (n² + 3n) − {(n − 1)² + 3(n − 1)}
=2n+2
-
これはn=1のときにも成り立つ。

ページ21:

(3)(2)より
cn=nb„=n(2n+ 2) = 2n(n+1)
1
1
1/1 1
ひっくり返して
=
部分分数分解
Cn
2n(n+1)
2\n
n+1
よって
IM
"
- =
k=1 Ck
-
1
1
ドミノ型
2n n+1
k=1
=
1/{(-1)+(23) +7 +1)}
1/1 1
n
21
n+1
n
2n+2

ページ22:

(3)つづき
a =
11
2n(n+1))
=2n+1,c, =2n(n + 1) より
ここで
an
=
2n+1
1 2n+1
=
(cm)24m²(n+1)2
4m²(n+1)2 4[n²(n+1)2
1
1
1
1
部分分数分解
n(n+1)=2n+1 6
an
(c)2
=
1 1
4n
2n+1[n² (n+1)2
1
(n+1)2
よって
n
したがってΣ
ak
k=1
(C)2
+(69-49
1
1
1
41_(n+1)^
n+2n
ドミノ型
1
1
+
n
(n+1)2
部分分数分解の
4(n+1)^
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