ゆるるか積分演習
0
0
0
高校全学年
お久しぶりです！RaiNeです
今日はちょっと難しい積分の入試問題の演習です！
解答は暗記シールで貼っているので、解いてからみることをお勧めします！解答後の要点は先見てもいいかも！(次のページに渡っている場合もあります)
今日もゆるく頑張っていこう！！
ノートテキスト
ページ1:
問題 -π, OA = 1, 2n nENでk=1,2,inに対して、△AOBkをLAOBK- OBk=kとする。面積Skとする。 (1)Skをkとんを用いて表せ。 (2) 極限値lim/SKを求めよ。 = k 1 三 (リ Sk = 1/12 OA・OBksin LAOBK =- 1xkx sin 2 禁=sin TK 2 n (2) 極限値」とおく。 L=lim n+∞ 六岳sin TK 2 n 区分求積法から、 L=losingdx =[- x2 2 cos]-1(一条cosx)dx πT 2 = 0 - [ - 2² sin x ] ' = —— 2 2 ☆区分求積法 lim 六(青)=10 4874 f(x)dx
ページ2:
問題 n→∞ nENとしてanを次で定義する。 lim an を求めよ。 an= £ [√2n2-k2] k=1 n² 12n2-k2 -< 12n2-k2 ガウス記号の性質から、 [√2m²-kz]s√2m²-k2<[√2m²-k]+1 -1 < [√√2n²-k²] ≤ √2n²-k² −1 [√2n²-k²] 2n2-k2 h2 n2 IMS 12n2-k2 リ cans 2n2-k2 n² 区分求積法から、 n lim∑ nook=1 2n2-k2 n² 4 + K | + -= lim ——— √²- (£)² = √ √ ²=x+ dx n k = 1 2- この積分は右図の領域の面積と等価なので 1 1 下 1 x-x- + - = 2-x2dx= =(2x πT 0 +- 4 2 2 4 2 1 lim =0も収束するので、 Intoon Lim $ (√2n²-12 k=1 2- 1 2 1 ) = lim — n n700 k=1 12n2-k2 n2 n→∞ lim nx n² = はさみうちの原理から、 liman= 874 4 1 +. 2 1|2 x
ページ3:
問題 1 (1) toとする。 <炊くを示せ。 - t 2t Cos x (2) lim dx=0を示せ。 (リ tot x sin 2/2 sin / とおく。次の等式を示せ。 (3) f(x) = sin lim 2 1 jtf(x)dx=/li t700 1 2 COS 2 1 x dx x>0 とおく。 値域から-1≦sinx≦1 1 sing 1 12tdx 2t sing 12tdge dxく ここで、 2tdge 2t 1tx2 t 1 1 2t t 1 2t ===/2/ 以上から、 1 2t sing 1 > dxく - 2t 22 2t (2) 部分積分を行うと, t > 2t sing dxく x2 t ☐ t x 2t ・2t ・2t dx | 2t Cos * dx = [ Sinx ] * + ] 2ª sinz dx = ( sint _ sint ) + 12t sin z dr x 2t はさみうちの原理から、 1 1 < 2t 2t 2t1 t - sint - sint & Dis から lim sin2t sint 8+4 2t -= 0, lim = 0 t+∞ t ztsing (1) A15) lime ( 2+ sin x x dx = 8+7 0 以上から、limlico 2t Cos dx = 0 x ☐
ページ4:
(3) 左辺の中の積分値を I(t) とおく。 積和公式から = f(x) = -12(cos2x - cosx) ここで、y=2xと置換すると、 tcos2x x ・2tcosyl dx= 24/226 · = 12+ cosy dy 2t から、I(t)は I(t)= tcosx 1 2/1 x 1st Cos2x 1 it cosx 12tcosy dx dx= dx- dy 2 1 x 2 1 x 2 y 定積分は積分変数に依存しないので、右図から I(t) + 12tcosx t x 112cosx dx = = dx 21 (2)からも→∞の極限を考えると、 _lim I(t) t +∞0 = 1 ・2cosx 2 1 x dx ☐ ☆積分の評価 Ⅰ 既存の評価式を各項積分する 例)-1≦sine≦1, a-l<[a]sa II 積分した結果を評価 亘 短冊状に切って面積で評価 Σ f(k) < fr˜ f(x) dz k=1 0 ん t 2 2t
ページ5:
問題 nENでn≧2とする。 (1)次の不等式を示せ。 nlogn-n+1< logk < (n+1) logn - n+1 k=1 (2) 極限値 lim (n!)/nlogn を求めよ。 n→∞ (1) K≧1について図より、 rk+1 logks /klog des log (k+1) n-1 k=1 k logk=logxdx = 10g(k+1)= 2logk 今、log1=0なので n-1 k=1 ,log™ dz = 2logk+log1 = 2logk k=2 =logk-① k=2 k=1 左側の不等式に+lognして n-1 /logxdx+logn≧logk+logn = 2logk ② ここで、 k=1 "logidx= [xlog-x]=nlogn-n ①、②から k=1 nlogn-n+1<Σlogk < (n+1) logn-n+1 k=1 ☐ x → n-1 h
ページ6:
(2) Σlogk = log(1×2x.xn)= log(n!) k=1 nlogn 1 (1)の辺々に× して <log(n) Inlogn cit 1 ん < 1+-- 1 logn nlogn 1-1ogn+nlogn n→∞の極限をとると、 1 + 1 logn nlogn 1 1 1 -> + + →1 ん logn/nlogn はさみうちの原理から、 lim log (n!) Unlogn n→∞ 以上から、 lim (n!) 1/nlogn n→∞ =e =1 ☆積分の面積評価 n nt1 H H 積分ベース n+1 f(n+1) <fit f(g) dscf(n) 和ベース n+1 n √nt f(x) dx < f(n) < [m, f(x) dx n-1
ページ7:
問題 双曲線y=1/2の第1象限にある部分と、原点〇中心の円の第1象限 にある部分をC,C2とする。C,,C2は異なる2点A,Bで交わり、点A であるとする。 におけるCの接線と線分OAのなす角は 6 このとき、Ci,C2で囲まれた図形の面積を求めよ。 図のように、円とり軸正の部分との交点を T lとx軸との交点をSとする。 A の座標 (1.t) とおく。 (t1) 接線の傾きsは 6 A S= =(文)=一定 x=1/t また,Aの座標から tanLAOS=+2 0 lと軸のなす角はLAOS+ (三角形の外角)なので、 s = tan (LAos+) よって、 √3+2+1 √3-t² || b +2+ 1 √3 J3t2+1 = = 1 t2. √3-+2 √3+2+1=-t² (√√3-±²) t4-23t-1=0 t2=2+13 (t2> 0) B x
ページ8:
こで、加法定理から
5
tan π = tan
12
(+)=
1+
√3
= 2+√ √3
√3
よって、 LAOS = 5π
1
12
1
・1
13
A,Bは直線y=xについて対称なので
π 5
2
< BOS = LAOT = -12=17212
ZAOBLAOS - LBOS =
3
円の半径r とおく。
1
-
r² = OA² = 1+ 12+ +² = 2+1 √3 +2+√3 = ( 2 − √3) + ( 2+ √3 ) = 4
r=OA=OB=2
扇形O-AB, 直線AB (y=-x+(t+1))とy=1/2で囲まれた部分の
面積をSi,S2とする。
・兀
3
S₁rLAOB = ½ ½π, AAOB = ½½ r² sin = √3
2
3
=}} dx
-
5₁ = {};₂ [{−x+(x+\)}− = ] ax
x2
= [ − 2²±² + (t + ½ ) x − log x ] 1\/t
1
1
-
1
1
¯ ¯ ±±² (t²¯ ½) + (++ ½) (+ - ½ ) - logt + log
2
t
=/1/2(t-1)-210gt =1/2(t-1)- 10gt2
= √3-log(2+√3)
求めるべき面積Sとする。
S = S₁ - AOAB + S₂ = π-log (2+ √³)
=—=—=
ページ9:
問題 空間において、連立不等式 0≦x≦1,0≦y≦1,0≦x≦1,x+y+z²-2xy-1≧o を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。 z=kにおける断面を考える。 x2+y^2+k^2-2xy-1≧0 (x-y)2≧1-k2 lx-y|≧Ji-kz y≧x+√i-k2 1- ysx-vi-k2 図示すると右図になる。 z=kにおける断面積 S(k)は S(k) = ± ±(1- √1-k²)³× 2 = 2+k²-2√1−k² 2 よって、求める体積Vは V=10s(k) ak=10(2-k2) ak-21oJi-kzak 1 √1-k² y loJi-k2dkは半径1の円の第一象限部分の面積に等しいので v=[2k-1]-2x = 5 3 2 π 4
ページ10:
問題
HO,R>O。空間内で、原点と点P(R,O,H)を結んだ線分をz軸
まわりに回転させた容器に水を満たす。時刻までに排出した水の
総量 V(t)として、
dv
=
Jh(h:水面までの高さ)が成立するように原点から
dt
排水する。全て排水するまでに要する時間を求めよ。
んを変数とした排水の総量v(h)は,tにおける水面の半径rとして、
H:R=hir
v(n)=1/3 RH-1/3mrzh
dv
ah
= -
1
R
π
3
んはtに依存するので、
dv
=
Jh
1 dvdh
dt
-
1
dhdt
R
| +1 d dh = − π ( 1 )³² ) n√h dh = − — π (1)² h²√h + 1
2
R
--
+C
dv
vhdh
両辺で積分すると、定数Cとして
1 dv
I have dh=/dt ==+(1)²h²√h + C = t
一部(n+c=t
dh
H
t=0でん=HなのでC=1/TR2JFとなる。
t=/TR2{JF-(}
5
求める時間Tはん=0なのでT=号/TR2JH
他の検索結果
おすすめノート
このノートに関連する質問
高校生
数学
数Ⅲの数列の極限の範囲です ⑵の解き方はあってますか？ もっとわかりやすくできるところがあったら教えてほしいです
高校生
数学
極限を調べる問題です。教えてください🙇♀️
高校生
数学
(2)h→-0のところどうして-1なんでしょうか、、 [ ]の意味もわからないです 教えてほしいですm(_ _)m
高校生
数学
この解説何がどうなってるんですか😭教えてください
高校生
数学
1行目の右辺→2行目のところの式変形が分かりません。教えてください！
高校生
数学
(1)と(2)の問題のsnを求める方法が分からないです。 どうやって、snを出しているのですか？教えてください😢
高校生
数学
(2)の問題が分からないです。😢 自分でやったんですが、赤で囲ったように(1)と同様にしてるのにならないです。自分のやったやつでも正解ですか？ また、この問題ってrさえ分かってしまえば基本いいんですよね。
高校生
数学
ガウス記号が本当にわからないのですが だれかわかりやすく教えてくださりませんか🥲
高校生
数学
2行目がよく分かりません
高校生
数学
(2)が分からないです。なぜ、(X)＋1が来るのか教えてください。
News
コメント
コメントはまだありません。